Convergencia casi segura y probabilística del máximo de las variables aleatorias I.I.D.

Question

Estoy repasando los Problemas de Borel-Cantelli en Durrett, pero estoy muy atascado en el Ejercicio 2.3.15..

Supongamos que $Y_{1},Y_{2},\ldots$ son i.i.d. Necesito probarlo:

1) $\frac{\max _{1\leq m\leq n}Y_{m}}{n}\to 0$ en probabilidad si y sólo si $nP(Y_{i}>n)\to 0$

2) $\frac{\max _{1\leq m\leq n}Y_{m}}{n}\to 0$ casi seguramente si y sólo si $E\left(\max\{0,Y_{i}\}\right)<\infty$ .

Hay dos partes más fáciles del problema que pude resolver. Demostré que $$ \frac{Y_{n}}{n}\to 0\text{ in probability }\iff P(|Y_{i}|<\infty)=1 $$ y $$ \frac{Y_{n}}{n}\to 0\text{ almost surely }\iff E|Y_{i}|<\infty. $$ Sin embargo, no estoy seguro de que estos hechos puedan utilizarse para resolver los dos problemas anteriores. Agradecería mucho que me ayudaran con estos problemas.

Gracias.

Answer 1

Las afirmaciones que intenta demostrar implican el máximo. Para la primera parte, define $P_n:=\mathbb P\left(\max_{1\leqslant i\leqslant n}Y_i\gt n\varepsilon\right)$ para un valor positivo arbitrario pero fijo $\varepsilon$ . Tenga en cuenta que $$P_n=\mathbb P\left(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}Y_i\gt n\varepsilon\right)=1-\mathbb P\left(\bigcap_{1\leqslant i\leqslant n}Y_i\leqslant n\varepsilon\right)$$ y desde los acontecimientos $\left(Y_i\leqslant n\varepsilon\right)_{1\leqslant i\leqslant n}$ son independientes y tienen la misma probabilidad, derivamos que $$P_n=1-\left(\mathbb P\left(Y_1\leqslant n\varepsilon\right)\right)^n.$$ La igualdad $\mathbb P\left(Y_1\leqslant n\varepsilon\right) =\left(1-P_n\right)^{1/n} $ implica $$n\mathbb P\left(Y_1\gt n\varepsilon\right)= n\left(1-\left(1-P_n\right)^{1/n}\right).$$ Ahora haz una expansión asintótica de $n(1-(1-t)^{1/n})$ para conseguir que $P_n\to 0$ si y sólo si $n\mathbb P\left(Y_1\gt n\varepsilon\right)\to 0$ .

Para la segunda parte, una dirección se hace por el resultado que mencionas. Para la inversa, aplica el lema de Borel-Cantelli a la secuencia de eventos $(A_n)$ definido por $A_n=\left\{\max_{1\leqslant i\leqslant n}Y_i\gt n\varepsilon \right\}$ (la probabilidad está limitada por $n\mathbb P\left(Y_1\gt n\varepsilon\right))$ .