¿Extraño homomorfismo relacionado con el teorema de Mackey?

Question

En el Álgebra de Serge Lang p695 sobre el Teorema de Macky, da un extraño homomorfismo. ( $E$ a $(R,G)$ -módulos con $G$ un grupo y $R$ un anillo conmutativo).

Pero no me parece correcto, $\lambda_2\text{Hom}_G(E_1,E_2)\lambda_1^{-1}$ no es un $\lambda_2G\lambda_1^{-1}$ -homomorfismo de módulo como a la derecha:

Dado $\lambda_2\phi\lambda_1^{-1}\in \lambda_2\text{Hom}_G(E_1,E_2)\lambda_1^{-1}$ , entonces para $e_1\in E_1, g\in G$ ya que $\phi$ es un $G$ -homomorfismo de módulo, $\lambda_2\phi\lambda_1^{-1}((\lambda_2 g \lambda_1^{-1})(\lambda_1e_1))=\lambda_2\lambda_1^{-1}\lambda_2 g \phi (e_1)\neq (\lambda_2 g \lambda_1^{-1})\lambda_2\phi(e_1)$ Así que $\lambda_2 G \lambda_1^{-1}$ no pasa como debería de eso $\text {Hom}_{\lambda_2G\lambda_1^{-1}}(\lambda_1E_1, \lambda_2E_2)$ .

Además,

cuando $\lambda_2G\lambda_1^{-1}$ actúa sobre $\lambda_1E_1$ en la primera variable de $\text {Hom}_{\lambda_2G\lambda_1^{-1}}(\lambda_1E_1, \lambda_2E_2)$ se convierte en $\lambda_2(G E_1)$ que ni siquiera está en $\lambda_1E_1$ .

¿Qué me falta?

Answer 1

La notación $\operatorname{Hom}_{\lambda_2G\lambda_1^{-1}}(\lambda_1E_1,\lambda_2E_2)$ parece ser un error. En efecto, $\lambda_2G\lambda_1^{-1}$ normalmente ni siquiera es un grupo, por lo que no está claro qué significaría esa notación. Lo que en realidad debería decir es $\operatorname{Hom}_G(\lambda_1 E_1,\lambda_2 E_2)$ donde dejas que $G$ actuar $\lambda_i E_i$ por $(g,x)\mapsto \lambda_ig\lambda_i^{-1}x$ .