Algunas asintóticas para la función zeta.

Question

Necesito utilizar la ecuación funcional para $\zeta(s)$ y la fórmula de Stirling, para demostrar que para $s=\sigma +it$ con $\sigma <0$ :

$$ |\zeta(s)| << \left(\frac{t}{2\pi}\right)^{1/2-\sigma}$$

como $t\rightarrow \infty$ (donde $\sigma$ es fijo), es decir $\,\displaystyle{\frac{|\zeta(s)|}{\left(\frac{t}{2\pi}\right)^{1/2-\sigma}}}$ está limitada por alguna constante que depende de $\sigma$ como $t\rightarrow \infty$ .

¿Alguna referencia o la propia solución?

Intenté utilizar el hecho de que

$$\frac{\zeta(s)}{\zeta(1-s)} = \frac{\pi^{s-1/2}\, \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)}{\Gamma(s/2)}$$ , donde $\zeta(1-s)$ está bien definida, no desaparece y está acotada Supongo que es la constante que depende de $\sigma$ mi problema es cómo evaluar la fracción con el $\Gamma$ 's.

Gracias de antemano.

Answer 1

A partir de la ecuación de la función para $\zeta(s)$ tenemos que $$\zeta(s) = \pi^{(s-1/2)}\zeta(1-s) \dfrac{\Gamma \left( \dfrac{1-s}{2} \right)}{\Gamma \left( \dfrac{s}{2} \right)}$$ $s = \sigma+it$ , donde $\sigma < 0$ . Tenga en cuenta que aquí fijamos $\sigma < 0$ y que $t \rightarrow \infty$ .

En primer lugar, tenga en cuenta que, $\zeta(1-s)$ está limitada trivialmente por $\zeta(1-\sigma)$ . (Recuerda $\sigma < 0$ )

También, $\pi^{(s-1/2)}$ está limitada por $\pi^{-(-\sigma+1/2)} = \dfrac1{\pi^{-\sigma+1/2}}$ . A partir de la fórmula de Stirling, tenemos que $$\Gamma(s+1) \sim \sqrt{2 \pi s} \left(\dfrac{s}{e} \right)^s$$ para un fijo $\sigma < 0$ y grandes $|t|$ . Nótese que la fórmula de Stirling es válida cuando la parte imaginaria de $s$ es grande, fijando la parte real, es decir, cuando $t$ está suficientemente acotado lejos de $0$ para un fijo $\sigma < 0$ .

Ahora vamos a centrarnos en la relación de $\Gamma$ funciones. A partir de ahora, suponemos que fijamos $\sigma < 0$ y que $t \rightarrow \infty$ . Esto es lo que entendemos por $\lvert s \rvert \rightarrow \infty$ . $$\Gamma \left( \dfrac{1-s}{2}\right) = \Gamma \left( - \left(\dfrac{1+s}{2} \right) + 1\right) \sim \sqrt{-2 \pi \left( \dfrac{1+s}{2}\right)} \times \left( - \left(\dfrac{1+s}{2e} \right) \right)^{- \left(\dfrac{1+s}{2} \right)}$$

$$\Gamma \left( \dfrac{s}{2}\right) = \Gamma \left( \left(\dfrac{s}{2} -1\right) + 1\right) \sim \sqrt{2 \pi \left( \dfrac{s}{2} - 1\right)} \times \left( \dfrac{s/2-1}{e}\right)^{s/2-1}$$

$$\dfrac{\Gamma \left( \dfrac{1-s}{2}\right)}{\Gamma \left( \dfrac{s}{2}\right)} \sim \sqrt{\dfrac{1+s}{2-s}} \dfrac{\left( - \left(\dfrac{1+s}{2e} \right) \right)^{- \left(\dfrac{1+s}{2} \right)}}{\left( \dfrac{s-2}{2e}\right)^{s/2-1}}$$

Por lo tanto, $$\left \lvert \dfrac{\Gamma \left( \dfrac{1-s}{2}\right)}{\Gamma \left( \dfrac{s}{2}\right)} \right \rvert \sim \left \lvert \sqrt{\dfrac{1+s}{2-s}} \dfrac{\left( - \left(\dfrac{1+s}{2e} \right) \right)^{- \left(\dfrac{1+s}{2} \right)}}{\left( \dfrac{s-2}{2e}\right)^{s/2-1}} \right \rvert$$

Para un fijo $\sigma < 0$ , donde $s = \sigma + it$ , como $t \rightarrow \infty$ tenemos que $$\left \lvert \sqrt{\dfrac{1+s}{2-s}} \right \rvert \rightarrow 1$$ $$\left \lvert -\left(\dfrac{1+s}{2e} \right)\right \rvert \sim \left \lvert \left(\dfrac{s}{2e} \right)\right \rvert$$ $$\left \lvert \left(\dfrac{s-2}{2e} \right)\right \rvert \sim \left \lvert \left(\dfrac{s}{2e} \right)\right \rvert$$ Por lo tanto, obtenemos que $$\left \lvert \dfrac{\Gamma \left( \dfrac{1-s}{2}\right)}{\Gamma \left( \dfrac{s}{2}\right)} \right \rvert \sim \left \lvert \dfrac{\left \lvert\dfrac{s}{2e} \right \rvert^{-(1+s)/2}}{\left \lvert\dfrac{s}{2e} \right \rvert^{s/2-1}} \right \rvert \sim \left \lvert \left \lvert \dfrac{s}{2e}\right \rvert ^{\left(1/2 - s \right)} \right \rvert \sim \left \lvert \dfrac{s}{2e}\right \rvert ^{\left(1/2 - \sigma \right)} \sim \left \lvert \dfrac{t}{2e}\right \rvert ^{\left(1/2 - \sigma \right)}$$

Por lo tanto, juntando todo esto, obtenemos que $$\left \lvert \zeta(s) \right \rvert = \left \lvert \pi^{(s-1/2)}\zeta(1-s) \dfrac{\Gamma \left( \dfrac{1-s}{2} \right)}{\Gamma \left( \dfrac{s}{2} \right)} \right \rvert = \left \lvert \pi^{(s-1/2)} \right \rvert \left \lvert \zeta(1-s) \right \rvert \left \lvert \dfrac{\Gamma \left( \dfrac{1-s}{2} \right)}{\Gamma \left( \dfrac{s}{2} \right)} \right \rvert$$ Ensamblando todo, obtenemos que $$\left \lvert \zeta(s) \right \rvert \ll \pi^{\sigma - 1/2} \zeta(1 - \sigma) \left \lvert \dfrac{t}{2e}\right \rvert ^{\left(1/2 - \sigma \right)} = \zeta(1 - \sigma) \left \lvert \dfrac{t}{2 \pi e}\right \rvert ^{\left(1/2 - \sigma \right)}$$

Esto es lo que querías demostrar. También se obtiene una idea de cómo crecen las constantes con $\sigma$ , donde $\sigma < 0$ .