Aplicaciones del teorema de Rouché

Question

Entiendo el enunciado del teorema de Rouché que (muy básicamente) dice que si tenemos un contorno cerrado en sentido contrario a las agujas del reloj donde las funciones $f$ y $g$ son holomorfas en una región $R$ y $f$ es mayor que $g$ entonces $f+g$ tendrá el mismo número de ceros que $f$ .

Sin embargo, no veo cómo utilizarlo.

Por ejemplo:

$f\left( z\right) :=z^{5}-6z+4$

Al compararlo con

$g\left( z\right) =z^{5}$ en $\left\{ z\in \mathbb{C} :\left| z\right| =2\right\}$

¿Puede alguien mostrarme cómo aplicar el teorema de Rouché aquí?

Answer 1

Dejemos que $h(z)=-6z+4$ . Luego, en $\{z\in\mathbb{C}: |z|=2\}$ tienes $$|g(z)|=2^5=32>16=12+4\geq|-6z+4|=|h(z)|.$$ Las funciones $h$ y $g$ son holomorfas dentro de $\{z\in\mathbb{C}: |z|=2\}$ por lo que aplicando el Teorema de Rouché se obtiene que $h+g=f$ tiene el mismo número de ceros que $g$ dentro del círculo. Como $g(z)=z^5$ tiene obviamente un cero de multiplicidad $5$ en $0$ la función $f(z)$ tiene $5$ ceros en $\{z\in\mathbb{C}: |z|<2\}$ .