Encontrar un polinomio mínimo de un elemento algebraico utilizando la teoría de Galois

Question

Existe una forma canónica (pero difícil) de determinar el polinomio mínimo de un elemento algebraico $\alpha$ en un campo $F$ , es decir, considerando el $F$ -transformación lineal definida por la multiplicación a la izquierda por $\alpha$ y calcular el polinomio mínimo de la matriz de la transformación lineal.

Estoy interesado en una forma teórica de Galois para hacer esto. Mi motivación es la siguiente: considere el problema de encontrar el polinomio mínimo de $\sqrt2 + \sqrt3$ en $\mathbb Q$ . Se puede hacer esto mediante un "golpe de conjugación" y comprobar que $$(x - (\sqrt2 + \sqrt3))(x - (\sqrt3-\sqrt2))(x - (\sqrt2 - \sqrt3))(x + (\sqrt2 + \sqrt3))$$ es irreducible sobre $\mathbb Q$ . El golpeteo conjugado es lo mismo que aplicar todos los elementos de Galois. Este enfoque ingenuo falla con $\sqrt[3]{2}$ que tiene un polinomio mínimo $x^3 - 2$ y grupo de Galois de orden 6. Sin embargo, no toda la esperanza está perdida, ya que se trata de un "polinomio característico" del elemento y contiene como factor el polinomio mínimo.

¿Hay alguna forma de solucionar esta deficiencia?

Answer 1

No hay ninguna "deficiencia". $X^3 - 2$ que tiene un grupo de Galois de orden $6$ no es un problema. Cuando aplicas todos los automorfismos del grupo de Galois las cosas reaparecen. Ignora la reaparición y ya está.

Pero realmente no necesitas el grupo de galois del polinomio mínimo. Lo que realmente estás haciendo es que estás mirando todos los automorfismos del cierre algebraico y haciendo una lista de lugares a los que tu elemento es enviado. Llama a ese conjunto $S$ , entonces su polinomio mínimo es $\prod_{t \in S} (X - t)$ .

En su primer ejemplo, $\sqrt 2 \not \in \mathbb Q (\sqrt 3)$ y viceversa. Así que se puede tener un automorfismo de $\overline {\mathbb Q}$ que envía $\sqrt 2 \to \pm \sqrt 2$ y $\sqrt 3 \to \pm \sqrt 3$ . Por lo tanto, su conjunto S está formado por $\left \{\pm \sqrt 2 \pm \sqrt 3 \right \}$ .

Del mismo modo, tratar con $\sqrt[3] 2$ .

Answer 2

Si $K/F$ es Galois y $\alpha \in K$ entonces el polinomio mínimo de $\alpha$ tiene como raíces los elementos de la órbita de $\alpha$ bajo la acción de $G(K/F)$ . Es decir, si $\{a_k\}$ es el conjunto de elementos de la órbita de $\alpha,$ entonces $\displaystyle \min_{\alpha}(x) = \prod_{k} (x-a_k)$ .

Para más información, consulte la parte inferior de la página 6 aquí .

Answer 3

Aquí hay un método que utilizo que no implica tanto golpe de conjugado, pero requiere un poco de aritmética, a saber, comprobar que $3$ sigue siendo libre de cuadrados en el PID $\Bbb Z[\sqrt2\,]$ .

Supongamos, para variar, que se quiere el polinomio mínimo de $\sqrt[3]3+\sqrt2$ , sobre $\Bbb Q$ . Sí se conoce el polinomio mínimo de $\sqrt[3]3$ en $\Bbb Q(\sqrt2\,)$ , a saber $f(X)=X^3-3$ y así se conoce el polinomio mínimo de $\sqrt[3]3+\sqrt2$ , sobre $\Bbb Q(\sqrt2\,)$ , a saber $g(X)=f(X-\sqrt2\,)$ . Sólo hay que multiplicar $g$ por su conjugado (sustituyendo $\sqrt2$ por $-\sqrt2$ ) para obtener el polinomio deseado sobre $\Bbb Q$ .