Mostrando que $(\sup S)^2 = 2$

Question

Estoy leyendo el capítulo uno de "The How & Why of One Variable Calculus" de Amol Sasane y en el ejemplo 1.12 él define $S:= \{x \in \mathbb R : x^2 \leq 2\}$ y procede a mostrar que dado que $S$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$ y $1 \in S$ entonces $S$ no está vacío, y además como $x^2 \leq 2 \implies x \leq 2$ tenemos un límite superior de $S$.

Por lo tanto, $u_* := \sup \ S$ existe y ${u_{*}}^2 = 2$. Él muestra que ${u_{*}}^2 = 2$ al demostrar que no puede ser ni ${u_{*}}^2 < 2$ ni ${u_{*}}^2 > 2$. Esto lo hace considerando los diferentes casos en relación con una variable, r. Define $r := u_* - \frac{{u_*}^2 - 2}{u_* + 2} > 0$.

Lo que no entiendo es el razonamiento detrás de cómo forma este r. Veo que puede ser útil para el numerador en la fracción que sea igual a $u_*^2 - 2$. Lo que no entiendo es el resto de la definición de r. ¿Está haciendo uso de alguna manera de que $u_* \geq 1$? Y si es así, ¿por qué dejar que el denominador en la fracción sea $u_* + 2$?

Gracias por su tiempo. Saludos, Isak

Answer 1

La idea es que si $u_*^2\ne 2$ entonces $r$ está más cerca de $\sqrt 2$ que $u_*$.

En el caso donde $u_*>\sqrt2,$ $$2u_*+u_*^2>2u_*+2$$ entonces $$\color{red}{u_*>\frac{2u_*+2}{u_*+2}=r},$$ y como $\sqrt2>1,$ también tenemos $$u_*\sqrt2(\sqrt2-1)>2(\sqrt2-1),$$ es decir, $$2u_*-\sqrt2u_*>2\sqrt2-2,$$ es decir, $$2u_*+2>\sqrt2(u_*+2),$$ es decir, $$\color{red}{r=\frac{2u_*+2}{u_*+2}>\sqrt2}.$$ Consideraciones similares aplican en el caso donde $u_*<\sqrt2$.