Coordenadas cilíndricas, ejemplo confuso

Question

Deseo calcular $\iiint_{E}z\sqrt{x^2+y^2}dV$ donde $E$ es el dominio atrapado entre el cilindro $x^2+y^2=2x$ y los aviones $y=0$ , $z=0$ , $z=a$

En la hoja de respuestas, el profesor transforma el problema a coordenadas cilíndricas y escribe

$x = r\cos \theta$ , $y = r\sin \theta$ , $z=z$ y los límites son $0<z<a$ , $0<\theta < \frac{\pi}{2}$ y $0<r<2\cos \theta$

Estoy confundido en cuanto a por qué $r < 2\cos \theta$ . ¿No debería ser $r < \sqrt{2\cos \theta}$ ?

Answer 1

Los puntos dentro del cilindro satisfacen $x^2 + y^2 \leq 2x$ . Con las sustituciones de coordenadas adecuadas, $$r^2\cos^2\theta + r^2 \sin^2\theta \leq 2r\cos\theta, \implies r^2\leq 2r\cos\theta, \implies r\leq 2\cos\theta. $$ Entonces, para resolver la integral, hay que expandir $dV = rdrd\theta dz$ (no olvides el jacobiano $r$ ), hacer las sustituciones apropiadas dentro del integrando, y establecer los límites $r \in [0,2\cos\theta]$ , $\theta \in [0,\pi/2]$ , $z \in [0,a]$ . ¿Puedes seguir desde aquí?