Probabilidad de un suceso específico al lanzar un dado de 6 caras cinco veces

Question

Estoy atascado en el cálculo de un problema de probabilidad que dice lo siguiente:

Tiro un dado de 6 caras 5 veces en total. ¿Cuál es la probabilidad de que saque al menos un 3, pero ningún 1 o 2 (= probabilidad de sacar al menos 3, pero al menos un dado tiene que ser 3).

Ejemplos que satisfacen mi condición:

• 35456
• 33454
• 45366
• ...

Ejemplos que no satisfacen mi condición:

• 45445 (satisface al menos 3, pero no satisface al menos un dado tiene que ser 3)
• 32653 (no satisface al menos 3, satisface un dado tiene que ser 3)
• ...

La parte de sacar al menos un 3, por lo que sé, debería ser el evento opuesto a ningún 3: $$1 - \left(\frac56\right)^5 = 0.5981.$$

Estoy atascado en la segunda parte.

Answer 1

Tal y como sugiere @Dougal, publico mi respuesta aquí:

La probabilidad de obtener al menos un 3 y todos los valores mayores que 2 en un dado de seis caras es igual a la probabilidad de obtener todos los valores mayores que 2 excepto las combinaciones en las que todos los valores son mayores que 3. $$P(5\text{ rolls}>2)-P(5\text{ rolls}>3)=\left(\frac{4}{6}\right)^5-\left(\frac{3}{6}\right)^5\approx0.1004 $$

El problema también se puede resolver como la probabilidad de obtener todos los valores superiores a 2 y obtener al menos un 3 en esas 5 tiradas. Esto se puede expresar como $$P(5\text{ rolls}>2)\cdot P(\text{at least a }3|5\text{ rolls}>2)= \left(\frac{4}{6}\right)^5\cdot\sum_{i=1}^{5}\binom{5}{i}\left(\frac{1}{4}\right)^i\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{5-i} $$

Creo que la primera solución es más fácil de entender, pero ambas proporcionan el mismo resultado.

Answer 2

Déjalo,

$\\ A = Event \space all \space dice \space > \space 2 \\ B = Event \space a \space 3 \space is \space rolled\\$

Nos interesa la informática $P(A \cap B) = P(A) \space P(B \space | \space A)$

$P(A) = (\frac{2}{3})^{5} = 0.1316872 $

$P(B \space | \space A) = 1 - (\frac{3}{4})^{5} = 0.7626953$

Entonces,

$P(A \cap B) = P(A) \space P(B \space | \space A) = (0.1316872) \space (0.7626953) = 0.1004372$

Podemos simularlo con R para convencernos del resultado:

> set.seed(0x12345678)
> hits <- 0
> runs <- 1000000
> for (i in 1:runs) {
+   s <- sample(1:6, 5, replace=TRUE)
+   if ( 3 %in% s & !(2 %in% s) & !(1 %in% s)) {
+     hits <- hits + 1
+   }
+ }
> hits / runs
[1] 0.10021