Supongamos que tenemos algo de espacio topológico $X$ y que de alguna manera nos olvidamos de la topología. Una amiga de nosotros conoce la topología y ofrece contar con nosotros para cualquier mapa de $X\to Y$ en cualquier espacio topológico $Y$ si es continua o no. Como resultado, podemos utilizar esto para recuperarse de la topología en $X$ la siguiente manera:
Deje $Z = \{0,1\}$ con topología $\{\varnothing, \{1\}, Z\}$. Para un subconjunto $A\subseteq X$ tenemos un mapa \begin{align} f_A : X &\longrightarrow Z\\ x &\longmapsto \begin{cases} 1 & \text{if %#%#%,}\\ 0 &\text{if %#%#%.}\end{casos} \end{align} Ahora $x\in A$ es continua si y sólo si el preimages de abrir los conjuntos son abiertos, ya que $x\notin A$ $f_A$ están abiertas en cualquier topología, sabemos que $f^{-1}(\varnothing)=\varnothing$ es continua si y sólo si $f^{-1}(Z)=X$ está abierto en $f_A$. Por lo tanto, dado cualquier subconjunto $f^{-1}(\{1\}) = A$ $X$ le pedimos a nuestro amigo si $A$ es continua y sabemos si $X$ es abierto o no, así que nos hemos recuperado de la topología como $$ \{\, A\subseteq X \mid \text{$f_A$ es continua}\,\}. $$
Llegamos a la conclusión de que el conocer la topología (es decir, la colección de bloques abiertos) de $A$ y ser capaz de darse cuenta de cualquier mapa $f_A\colon X\to Z$ si es continua son equivalentes.
Es de alguna manera posible definir un espacio topológico como un conjunto $X$ junto con algunos de la clase de mapas de $X\to Y$ satisfacer ciertas propiedades, por lo que resultan ser la continua mapas?
Un problema aquí es que el pensamiento de la clase $X$S$X$f$$\{\, f:X\to Y \mid \text{$$ ya implica sabemos lo que los espacios topológicos $ a topological space, $, por lo que parece que no podemos utilizar esta clase para definir lo que es un espacio topológico es.
Podemos hacer algo similar, aunque?
