Para empezar, he notado dos cosas. Teniendo en cuenta cómo la luz funciona, la curva debe ser una proyección radial (de la fuente de luz) de la parte inferior límite de la sombra (un círculo) en la pared. En segundo lugar, sólo la mitad del círculo más cercano a la pared en realidad iba a contribuir a la sombra en la pared, y por lo tanto la curva. Y así comienza la matemática:
En este particular la sala de espera, la sombra era tocar la pared. Es decir que no hay un único punto en el borde inferior de la sombra de tocar la pared, que era el punto en el "apex" de esta curva donde la sombra comenzó. Por lo tanto, me imaginaba el escenario como el siguiente:
El borde inferior de la sombra puede ser representado como el círculo unitario $\alpha = \langle \cos(\theta) + 1, \sin(\theta), 0 \rangle$. La pared puede ser pensado como la $yz$-plano, y tal vez la fuente de luz se centra en $P = (1, 0, 1)$. Tenga en cuenta que la mitad del círculo, contribuyendo a la sombra es de $\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}$.
Siguiente, recordemos que la curva es una proyección radial de el círculo, así que primero el deseo de encontrar una parametrización de la línea de $P$ a un punto arbitrario en el círculo de $\alpha$. Tal parametrización es como sigue: $l(t) = \langle 1 + \cos(\theta)t, \sin(\theta)t, 1-t \rangle$. Tenga en cuenta que $t = 0$, estamos en el punto $P$ y $t = 1$, estamos en el punto $\langle 1 + \cos(\theta), \sin(\theta), 0 \rangle$ en el círculo.
Queremos saber donde esta la familia de las líneas se cruza con el de $yz$-plano. Así, el valor de $x$de coordenadas en los puntos de intersección es de $0$, con lo que obtenemos las siguientes ecuaciones:
$$x = 1 + \cos(\theta)t = 0$$
$$ $ y = \sin(\theta)t$$
$a$z = 1 - t$$
Por lo tanto, $t = \s(\theta)$. Conectando en, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones que describen la curva en el $yz$-avión:
$$ $ y = -\tan(\theta)$$
$a$z = 1 + \s(\theta)$$
Para simplificar, podemos fingir que estamos de vuelta en el $xy$-plane, y $x = -\tan(\theta)$ y $y = 1 + \s(\theta)$. A partir de aquí, se puede salir de una parametrización de la ecuación y en forma rectangular señalando que $y^2 - x^2 - 2y = 0$.
Recuerdo que una ecuación general $A_{xx}x^2 + 2A_{xy}xy + A_{yy}y^2 + 2B_xx + 2B_yy + C = 0$ constantes $A_{\circ \circ}$ y $B_{\circ}$ se describe una hipérbola siempre que $ \det \left[ \begin{array}{ c } A_{xx} & A_{xy} \\ A_{xy} & A_{yy} \end{array} \right] < 0$. Bueno, en nuestro caso, $A_{xx} = -1$, $A_{xy} = 0$ y $A_{yy} = 1$.
Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que la curva es una hipérbola!
