Corrección de primer orden de la energía en un oscilador armónico perturbado

Question

Sé, por la teoría de la perturbación, que, si tengo el hamiltoniano $$ \hat H = \hat H_0 + \lambda \hat W$$ donde $\hat H_0$ es el hamiltoniano no perturbado del que conozco sus vectores y valores propios, y $W$ es la perturbación. Entonces la energía del hamiltoniano perturbado, corregida al primer orden, viene dada por $$E_n\approx\varepsilon_0+\lambda \varepsilon_1 \tag{1}$$ donde $\varepsilon_0$ es el enésimo valor propio de $H_0$ (es decir $H_0|\varphi_n\rangle =\varepsilon_0 |\varphi_n\rangle $ ) y $\varepsilon _1=\langle \varphi_n|\hat W|\varphi_n\rangle$ .

Mi pregunta viene de un problema concreto en el que el hamiltoniano que se me da es un peculiar oscilador "anharmónico" $$\hat H = \frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{2}x^2+\alpha x + \beta p^2$$ En este caso no tengo sólo un parámetro $\lambda$ sino dos ( $\alpha$ y $\beta$ ). ¿Cuál debería ser la expresión (1) aquí?

Gracias

PD: Además, me gustaría saber cómo resolver este problema de forma exacta, o al menos, si es posible. Supongo que podría funcionar con un cambio de variables.

Answer 1

Se puede resolver este Hamiltoniano exactamente. Podemos escribir

$$ \hat H = \left(\frac{1}{2m}+\beta\right)p^2+\frac{m\omega^2}{2}\left(x+\frac{\alpha}{m\omega^2}\right)^2-\frac{\alpha^2}{2 m \omega^2} $$

Definir $\bar{m}$ para satisfacer $\frac{1}{2\bar m}=\frac{1}{2m}+\beta$ , defina $\bar\omega$ para satisfacer $m\omega^2=\bar m\bar \omega^2$ y definir $\bar{x}=x+\frac{\alpha}{m\omega^2}$ . Entonces el Hamiltoniano se convierte en

$$ \hat H = \frac{p^2}{2\bar m}+\frac{\bar m\bar\omega^2}{2}\bar{x}^2-\frac{\alpha^2}{2 m \omega^2} $$ que no es más que un hamiltoniano del SHO más una compensación de energía constante. Por lo tanto, deberías ser capaz de encontrar los niveles de energía para este Hamiltoniano, y escribirlos en términos de $m,\omega, \alpha, \beta$ . Expandiendo el resultado a primer orden en $\alpha,\beta$ responderá inmediatamente a su primera pregunta.