Problema relacionado con el Teorema del Valor Medio

Question

Dejemos que $f(x)\leq g(x)$ para todos $x \in I$ , donde $I$ es un intervalo $\subseteq$ R. Además, dejemos que $f(c) = g(c)$ para algunos $c \in I$ pero no un punto final. Demostrar que $f'(c) = g'(c)$ (asumir la diferenciabilidad)

He probado el Teorema del Valor Medio, sea I = [a,b]. Así que para $f'(c) = g'(c)$ Tendré que demostrar que $f(a) - f(b) = g(a) - g(b)$ pero estoy atascado en esto. También he probado la definición de derivada pero sigo sin poder avanzar.

Por favor, dame algunas pistas sobre esto. Gracias.

Answer 1

Si tomamos la función $h(x) = g(x) - f(x)$
vemos que $h(x) \ge 0 = h(c)$ para todos $x \in I$

Así que $c$ es un punto de mínimo local para $h$ está en el intervalo $I$ .

Desde $c$ es el punto interno de $I$ y $h$ es diferenciable en $c$
(y eso es así porque ambos $f$ y $g$ son diferenciables en $c$ ),
se deduce que $h'(c) = 0$ (hay un teorema muy básico que lo afirma).

Teorema de Fermat (puntos estacionarios)

Este teorema es más básico que el teorema del valor medio (MVT),
lo que significa que suele probarse antes que el MVT (en los cursos de análisis real).

Así que ahora tenemos $0 = h'(c) = f'(c) - g'(c)$

Por lo que se deduce que $f'(c) = g'(c)$

En definitiva, tu problema es un simple ejercicio de este teorema.
No creo que el problema esté relacionado con el MVT.

Si te interesa una prueba, es muy sencilla

Demostración del teorema de Fermat

Answer 2

Aquí hay otro punto de vista, aunque la excelente respuesta de @peter.petrov es mejor OMI y apunta a una generalización muy útil.

Veamos la relación $\frac{f(x) - f(c)}{x-c}$ para los puntos cercanos a $c$ .

Por hipótesis para todo $x$ en el intervalo $$f(x) - f(c) \leq g(x) - f(c) = g(x) - g(c)$$

para $x > c$ entonces, tenemos $$\frac{f(x) - f(c)}{x-c} \leq \frac{g(x) - g(c)}{x-c}$$

$$\lim_{x \to c+} \frac{f(x) - f(c)}{x-c}\leq \lim_{x \to c+} \frac{g(x) - g(c)}{x-c}$$ o $$f'(c) \leq g'(c)$$ Sin embargo, para $x$ se acerca a $c$ de la izquierda, el denominador $(x-c)$ es negativo, por lo que la desigualdad se invertirá, dejándonos con

$$f'(c) \geq g'(c)$$

Tomando estas dos afirmaciones juntas tenemos $$f'(c) \leq g'(c) \leq f'(c)$$ Por lo tanto, $f'(c) = g'(c)$ .