Digamos que tengo una función acumulativa de medidas de dirac $F_{\delta_{a_n}}(x)$ que convergen puntualmente a $F(x)$ para todos $x$ tal que $F$ es continua (que también es una función acumulativa).
Ahora $F_{\delta_{a_n}}(x)=0$ o $F_{\delta_{a_n}}(x)=1$ para que $F(x)=0$ o $F(x)=1.$
En $F$ ¿tiene sólo un punto discontinuo?
Supongamos lo contrario: Existe $x<y$ tal que $F$ es discontinuo en $x$ y $y$ .
Como $F$ es monótona y continua hacia la derecha, se deduce que $F(x) < F(y)$ . Desde $F$ sólo tiene un número contable de discontinuidades, existe alguna $c\in (x, y)$ tal que $F$ es continua en $c$ . De nuevo, tenemos $F(c) < F(y)$ . Así, $0 = F(c) \ge F(x) \ge 0$ , lo que contradice que $F$ es discontinuo en $x$ .
¿Cómo saber que $F(c)=0$ ? Si $x$ es un punto discontinuo sabemos que $P(X=x)>0$ es decir $F(x)-F(x^{-})>0.$
@AlexHF $c$ se elige de forma que $F$ es continua en $c$ Por lo tanto $F(c)$ es 0 o 1. Pero, debido $F(c) < F(y) \le 1$ debe ser 0.
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