¿Las matemáticas son una gran tautología?

Question

¿Son las matemáticas una gran tautología? Permítanme plantear la pregunta en términos más claros:

Las matemáticas son un sistema deductivo; funcionan partiendo de axiomas arbitrarios y derivando de ellos "nuevas" propiedades mediante el proceso de deducción. Como tal, parecería que simplemente estamos creando una cadena de equivalencias; cada propiedad puede remontarse lógicamente a los axiomas. Debe ser así, ¡así es como funcionan los sistemas deductivos!

Si es así, ¿en qué sentido estamos introduciendo ideas novedosas o nuevas? Parece que todo es simplemente equivalente al conjunto fundamental de axiomas que elegimos para empezar. ¿Existe un paso preciso en la derivación matemática que podamos aislar como algo que va más allá de la lógica pura? Si es así, ¿cómo encaja esto con el hecho de que las matemáticas sean deductivas? ¿Debemos cambiar nuestra visión de las matemáticas como puramente deductivas? Y si no es así, ¿hay alguna manera de conciliar el sentimiento de creatividad de las matemáticas con el hecho de que se reduzcan a la lógica pura?

Estoy tratando de averiguar la verdadera naturaleza de lo que está pasando aquí.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: cada persona ve esto de forma diferente. Yo estoy de acuerdo con Lakatos: La lógica es una herramienta. Las pruebas son una forma de verificar la propia intuición (y en muchos casos de mejorar la propia intuición) y es una herramienta para comprobar la consistencia de las teorías en un proceso de refinamiento de los axiomas. El hecho de que toda demostración se reduzca a una tautología es cierto pero irrelevante para las matemáticas.

He aquí una pregunta isomorfa a la que usted ha planteado: Un cuadro no es más que manchas de pintura de distinto color sobre un lienzo. Entonces, ¿debemos deducir de este hecho que el arte de la pintura se reduce a colocar pintura sobre el lienzo? Técnicamente, la respuesta es sí. Pero el pintor hace mucho más que eso. De hecho, está claro que aunque el pintor debe poseer una gran habilidad para colocar la pintura sobre el lienzo, esta habilidad es la menos relevante (aunque absolutamente necesaria) para el proceso creativo de la pintura.

Lo mismo ocurre con las matemáticas. Ser capaz de demostrar es esencial, pero es la habilidad menos relevante para hacer matemáticas. En matemáticas no deducimos cosas a partir de axiomas. Más bien intentamos captar una determinada idea introduciendo axiomas, comprobamos qué teoremas se derivan de los axiomas y comparamos estos resultados con la idea que intentamos captar. Si los resultados coinciden, estamos contentos. Si los resultados no concuerdan, cambiamos el axiomas . Las ideas que intentamos captar trascienden el sistema deductivo. El sistema deductivo está ahí para ayudarnos a encontrar consecuencias a partir de los axiomas, pero no nos dice cómo calibrar la validez de los resultados con respecto a la idea que intentamos captar, ni cómo ajustar los axiomas.

Este es mi punto de vista personal de lo que son las matemáticas (o al menos de lo que es una parte considerable de ellas). Está muy cerca de lo que es la física. La física no es sólo algunas teorías sobre la materia y sus interacciones con las cosas. Más bien trata de modelizar la realidad. Lo mismo ocurre con las matemáticas, sólo que no está del todo claro qué realidad está tratando de modelar.

Answer 2

No importa si todo teorema demostrable es, lógicamente, una tautología. Eso es sólo un replanteamiento ligeramente provocativo de la definición de demostrable.

Lo que importa es a través de qué medios se encuentran esas pruebas. Aquí es donde se introducen las ideas novedosas, por ejemplo, en una construcción ingeniosa o en una definición inteligente. O, a menudo, saliéndose aparentemente por la tangente, demostrando unos cuantos lemmata que a primera vista no parecen tener nada que ver con el teorema en cuestión, para luego dar la vuelta, peinar los lemmata, y voilá, ahí el teorema.

Tenga en cuenta que puede, en algunos sistemas formales, eliminar tales desvíos de las pruebas. Esta propiedad se denomina "cutfree-ness", y básicamente afirma que cada prueba puede ser llevada a una forma en la que no toma ningún desvío y no prueba nada que no sea estrictamente necesario (es una descripción muy aproximada, lo sé). Para estos sistemas, se podría argumentar que es difícil encontrar un valor creativo en una prueba, si el mismo hecho también se puede demostrar de una manera sencilla (y aburrida). Por suerte para nosotros, resulta que la propiedad de estar libre de cortes en sí misma tiene que ser algo que muy difícil de probar. Se puede demostrar que el hecho de no tener cortes hace que un sistema de deducción sea automáticamente consistente. Por lo tanto, a partir del teorema de Gödels, se deduce que la demostración de la ausencia de cortes de algo como PA tiene que utilizar métodos que van más allá de las capacidades de PA. Lo que, por supuesto, hace que la ausencia de cortes no sea aplicable a la prueba de la ausencia de cortes en sí misma, y esto, por lo tanto siempre deja cierto margen para la creatividad. On sólo tiene que elegir un sistema formal lo suficientemente fuerte.

Answer 3

Su afirmación de que "las matemáticas son un sistema deductivo: funcionan partiendo de axiomas arbitrarios y derivando de ellos "nuevas" propiedades mediante el proceso de deducción" es algo con lo que muchos matemáticos (aunque supongo que no todos) no estarían de acuerdo; yo soy uno de ellos. Hay un famoso comentario sobre "sillas, mesas y jarras de cerveza" atribuido a Hilbert que fomenta este punto de vista, pero mi opinión es que la actitud tan formal hacia las matemáticas que sugiere este comentario refleja más un periodo concreto de las matemáticas (uno en el que las cuestiones fundacionales estaban en primer plano, por diversas razones) que la esencia de las matemáticas.

Comparto la visión de Ittay Weiss, a saber, que las ideas son lo primero, y los axiomas son sólo una forma de modelarlas. El razonamiento, también, a menudo procede trabajando primero con las ideas; a medida que el argumento se desarrolla, eventualmente se moldeará en algo más formal, pero (en mi experiencia) no es así como los argumentos comienzan su vida.

Answer 4

Tautología es un término utilizado en lógica para denotar una declaración que es verdadera independientemente de los valores asignados a sus variables, o su interpretación.

Los enunciados matemáticos no son enunciados de la lógica (al menos no los que consisten en cosas distintas de la lógica, cuando consideramos que la lógica es una rama de las matemáticas). La lógica se utiliza para conectar los enunciados de las matemáticas.

Una ecuación algebraica E1, por ejemplo, está conectada a la lógica en la medida en que esa ecuación es verdadera o falsa. Podemos derivar otra ecuación verdadera E2 basada en E1, pero eso es derivación y no deducción lógica.

Y entonces podemos ver esto y hacer una afirmación lógica como "si E1, entonces E2".

Pero esta afirmación no es una tautología. Es falsa siempre que E1 sea verdadera y E2 sea falsa.

Por supuesto, no es el caso de que E1 sea verdadera y E2 sea falsa porque hemos establecido E1, y luego hemos derivado matemáticamente E2 de ella. Pero todo eso tiene que ver con la interpretación que imponemos a "si E1, entonces E2" y no con su forma lógica.

Pero son interpretaciones que no son consecuencia de la forma lógica "si E1 entonces E2". Esa forma en sí misma no es, pues, tautológica.

En segundo lugar, tautología no es un término peyorativo en lógica. La palabra se usa peyorativamente en el sentido de tautología retórica : algún tipo de afirmación obviamente verdadera que no hace avanzar un discurso.

Las tautologías lógicas son muy útiles. Por ejemplo, las leyes de De Morgan. El campo de la lógica probablemente tiene tautologías que son grandes, complicadas y sorprendentes.

Answer 5

Has encontrado una propiedad de las matemáticas que puede ser filosóficamente interesante, pero que tiene muy poco que ver con las matemáticas en sí. Tienes razón, pero eso no añade ningún conocimiento interesante.

La parte interesante de las matemáticas es qué deducciones y cómo la ciencia aplica estos teoremas deducidos en la comprensión de la realidad. Aunque no se pueda demostrar que son verdaderos en un sentido absoluto.

Puedes ser consciente de que es imposible saber nada con seguridad y, sin embargo, vivir una vida feliz de aprendizaje.

Saber que no se sabe es lo mejor. Pretender saber cuando no se sabe es una enfermedad.

Lao Tsu