Una desigualdad que implica la distribución normal

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria normal con parámetros $\mu = 0$ y $\sigma^2 =1 $ . ¿Es cierto que

$$ P( X > x ) \leq \frac{1}{x \sqrt{2 \pi}} e^{ -x^2/2} \text{ for }x>0 \text{ ??}$$

Answer 1

$$\sqrt{2\pi }P(X>x)=\int _x^\infty e^{-t^2/2}dt\leq \int _x^\infty \frac{t}{x}e^{-t^2/2}dt=\frac{e^{-x^2/2}}{x}$$