$f(n)=n+\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ . Demostrar para todos $m\in \mathbb{N}$ la secuencia $m,f(m),f(f(m)),..$ contiene un cuadrado perfecto

Question

¿Podría alguien verificar mi solución para el siguiente problema?

$f(n)=n+\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ . Demostrar que para cada número entero positivo $m$ la secuencia $$m,f(m),f(f(m)),...$$ contiene un cuadrado perfecto.

---

Reclamación $1$ .

Para todos $m$ en forma de $m=n^2+b$ donde $0\leq b<2n+1,n>b-1 \implies m>(b-1)^2+b$ la secuencia contiene un cuadrado perfecto

Prueba de reclamación $1$

Utilizaremos la inducción fuerte en $b$ :

1. Para $b=1$ , $n^2<m=n^2+1<(n+1)^2, n^2<n^2+n+1<(n+1)^2$ . Así, $f(m)=n^2+n+1, f^{2}(m)=n^2+2n+1=(n+1)^2$ .

2. Supongamos que es cierto para $b=1,2,...,k$ . Para $m=n^2+k+1$ con $n>2k$ , $f(m)=n^2+n+k+1$ . $f^2(m)=n^2+2n+k+1=(n+1)^2+k$ . Hemos terminado por inducción.

Fin de la prueba de reclamación $1$

Según la reivindicación 1, todos los $m=n^2+b$ donde $m>(b-1)^2+b$ es válido. Para $m$ en forma de $m^2+b$ donde $m <(b-1)^2+b$ podemos tomar $m=(b-1)^2+b-1, ...$ (disminuyendo)

---

La última parte parece un poco rara. Si la última parte es verdadera está bien (Sin embargo, ¿hay una mejor manera de terminar la última parte del problema?)

Answer 1

Tu solución me parece correcta.Pero creo que podrías escribir tu argumento de otra manera.

Aquí va mi solución(que es muy parecida a la tuya)::

Dejemos que $g(m)$ definirse como $m-\text{the largest perfect square smaller than m}$

Demostraremos por inducción que para cualquier entero positivo $g(m)$ la condición dada se mantiene.

Caso base: $g(m)=1$ también conocido como $m=n^2+1$ Entonces $f^2(m)=n^2+n+1$ si $f(m)$ no es un cuadrado.

Ahora, supongamos que la condición se cumple para $g(m)=1,\cdots,k$ .

$\textbf{Case 1}:$

Ahora, si $m=n^2+k$ con $k<n+1$ Entonces, $f^2(m)=f(n^2+n+k)=(n+1)^2+(k-1)$ (la única excepción es cuando $n^2+n+k$ es un cuadrado perfecto).

Pero $g(f^2(m))=k-1$ para los que la condición se mantiene por nuestra hipótesis inductiva.

$\textbf{Case 2}$

Si $k>n+1$ (k=n+1 haría de f(m) un cuadrado perfecto)

$f^2(m)=(n+1)^2+k$ .

Aquí $n$ se ha convertido en $n+1$ y $g(m)$ ha permanecido $k$ donde los nuevos $m$ es $f^2(m)$ .

Así que, ya sea en los próximos pasos $g(m)$ disminuye o se mantiene igual.

Pero como $n$ es creciente pero k permanece igual, en algún momento $k$ tiene que ser $<n+1$ y entonces por la primera parte de nuestro argumento inductivo $k$ se reducirá a $k-1$ para los que la hipótesis inductiva dice que la condición se cumple.

Así que, hemos terminado.