Mostrar $5^{1/3}$ no está en el campo $\mathbb{Q}(2^{1/3})$

Question

Quiero mostrar $5^{1/3}$ no está en el campo $\mathbb{Q}(2^{1/3})$ . Mi razonamiento fue $[\mathbb{Q}(2^{1/3}):\mathbb{Q}]=3$ y $[\mathbb{Q}(5^{1/3}):\mathbb{Q}]=3$ . Del mismo modo, sabemos que $[\mathbb{Q}(2^{1/3}, 5^{1/3}):\mathbb{Q}]=9$ así que por multiplicidad de dimensiones, $[\mathbb{Q}(5^{1/3}):\mathbb{Q(2^{1/3})}]=3$ lo que implica que $5^{1/3} \not\in \mathbb{Q}(2^{1/3})$ . ¿Es este el enfoque correcto?

Answer 1

Lo que has escrito funciona como esquema, pero creo que tus afirmaciones sobre el grado de extensión de cada campo necesitarían una explicación.

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Para $[\mathbb{Q}(2^{1/3}):\mathbb{Q}]$ y $[\mathbb{Q}(5^{1/3}):\mathbb{Q}]$ hay que demostrar que los polinomios irreducibles de $2^{1/3}$ y $5^{1/3}$ en $\Bbb Q$ tienen el grado 3.

(Como sabe que $2^{1/3}$ es una raíz de $x^3-2 \in \Bbb Q[x]$ Sólo tienes que explicar por qué $x^3-2$ es irreducible sobre $\Bbb Q$ . Puedes usar el criterio de Eisenstein. Lo mismo para $5^{1/3}$ .)

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Lo más difícil es explicar por qué $[\mathbb{Q}(2^{1/3}, 5^{1/3}):\mathbb{Q}]=9$ .

Creo que escribiría las extensiones de otra manera y luego usaría la propiedad multiplicativa del grado:

$\Bbb Q \subseteq \Bbb Q(2^{1/3}) \subseteq [\Bbb Q(2^{1/3})](5^{1/3})=\mathbb{Q}(2^{1/3}, 5^{1/3})$ Así que el problema se convierte en mostrar que $5^{1/3}$ tiene grado $3$ en $\Bbb Q(2^{1/3})$ .

$[\Bbb Q(2^{1/3}):\Bbb Q]=3$ Así que $\Bbb Q(2^{1/3})$ tiene una base de tres elementos: $1, 2^{1/3}$ y $2^{2/3}$ .

Puedes usar esto para demostrar que $5^{1/3}$ no es un elemento de $\Bbb Q(2^{1/3})$ podría intentar escribirlo como una combinación lineal de los elementos de la base con coeficientes en $\Bbb Q$ y derivando una contradicción. (Esto puede ser largo y tedioso).

Answer 2

En general, si $p$ y $q$ son dos primos diferentes y $k>1$ , $p^{1/k}\not\in\mathbb{Q}(q^{1/k})$ .

Suponiendo lo contrario, para cualquier número primo suficientemente grande $r\equiv 1\pmod{k}$ con $q$ siendo un $k$ -aquel residuo $\pmod{r}$ , $p$ sería un $k$ -a también el residuo, pero podemos proporcionar contraejemplos a esa situación a través del teorema chino.

Answer 3

Una alternativa es observar que $\mathbb{Q}(2^{1/3})$ es un espacio vectorial tridimensional sobre $\mathbb{Q}$ con base $\{1, 2^{1/3}, 2^{2/3}\}$ . Esto significa que todos los elementos pueden escribirse de la forma $$a+b(2^{1/3}) + c(2^{2/3})$$ donde $a,b,c \in \mathbb{Q}$ . Ahora bien, si $5^{1/3}\in \mathbb{Q}(2^{1/3})$ entonces podemos escribir $$5^{1/3} = a+b(2^{1/3}) + c(2^{2/3})$$ en cuyo caso $$5 = (5^{1/3})^{3} = (a+b(2^{1/3}) + c(2^{2/3}))^{3}.$$ Se pueden hacer las cuentas del lado derecho para ver que esto es imposible (basta con mostrar que cualquiera de los coeficientes de $2^{1/3}$ o $2^{2/3}$ es distinto de cero).