Prueba por inducción: para $n \ge 0$ , $\frac{(2n)!}{n!2^n}$ es un número entero

Question

Otra pregunta de demostración por inducción: para $n \ge 0$ , $$\frac{(2n)!}{n!2^n}$$ es un número entero

Paso básico: $$n = 0$$ $$\frac{(2 \times 0)!}{0! \times 2^0} = \frac{0!}{1 \times 1} = 1$$

Paso de la inducción: por favor, ayuda

Answer 1

Supongamos que para $k$ el resultado $\dfrac{(2k)!}{k!2^k}$ es igual a un número entero $c$ .

Para el paso $k+1$ tenemos $$\frac{(2(k+1))!}{(k+1)!2^{k+1}}=\frac{(2k)!}{k!2^k}\times\frac{(2k+1)(2k+2)}{2(k+1)}=c\times(2k+1)$$ Ahora, $c$ se supone que es un número entero, y $k$ también es un número entero, por lo que $c\times(2k+1)$ también será un número entero.

Answer 2

Prueba:: (Sin usar la inducción::) Sea $$Z=\frac{(2n)!}{n!\cdot 2^n} = \frac{(2n)\cdot (2n-1)\cdot (2n-2)\cdots4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{n!\cdot 2^n}$$

así que $$Z = \frac{\underbrace{(2n)\cdot (2n-2)\cdot (2n-4)\cdots4\cdot 2}\times \underbrace{(2n-1)\cdot (2n-3)\cdot (2n-5)\cdots3\cdot 1}}{n!\cdot 2^n}$$

Así que $$Z = \frac{2^n\cdot \left[n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 4\cdot 2\right]\times \underbrace{(2n-1)\cdot (2n-3)\cdot (2n-5)\cdots3\cdot 1}}{n!\cdot 2^n}$$

Así que $$Z = \frac{2^n\cdot n!\times \underbrace{(2n-1)\cdot (2n-3)\cdot (2n-5)\cdots3\cdot 1}}{2^n\cdot n!}$$

Así que $$Z = \underbrace{(2n-1)\cdot (2n-3)\cdot (2n-5)\cdots3\cdot 1}$$ es un número entero.

Answer 3

Supongamos que es cierto para $n=k$ Así que $$\frac{(2k)!}{2^{k}k!}$$ es un número entero.

Para $n=k+1$ la expresión es $$\frac{(2k+2)!}{2^{k+1}(k+1)!}$$

Esto es lo mismo que $$\frac{(2k)!(2k+1)(2k+2)}{2^{k+1}k!(k+1)}$$

Pero $2k+2=2(k+1)$ por lo que podemos cancelar los términos, dando como resultado $$\frac{(2k)!(2k+1)}{2^{k}k!}$$

Y como $$\frac{(2k)!}{2^{k}k!}$$ y $2k+1$ son enteros, también lo es su producto.

Por lo tanto, si es cierto para $n=k$ también es cierto para $n=k+1$ .

Answer 4

Supongamos que $\frac{(2n)!}{n!2^n}$ es un número entero. $\frac{2(n+1)!}{(n+1)!2^{n+1}}=\frac{(2n+2)\cdot(2n+1)\cdot(2n)!}{(n+1)\cdot n!\cdot 2^n\cdot 2}=\frac{(2n)!}{n!2^n}\cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{2(n+1)}$ . Observe que $\frac{(2n)!}{n!2^n}$ es un número entero por la suposición inductiva, y que $\frac{(2n+2)(2n+1)}{2(n+1)}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{2(n+1)}=2n+1$ .