¿Existe una función $f(x)$ ( $f(x)$ y $n$ son irrelevantes) que hace que la siguiente relación sea verdadera? $$\int\limits_{0}^1 x^{n-1}f(x)dx=\binom{2n}{n}=\frac{\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+1)}\quad ?$$ Intenté obtener la función utilizando la transformación Merlin, pero fallé.
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Conocemos la fórmula de Wallis donde $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n}(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}(x)dx=\frac{\pi}{2^{2n+1}}{2n\choose n}$$ por lo que una de las funciones puede ser $f(x)=2^{2n} \frac{cos^{2n}(\frac{\pi}{2}x)}{x^{n-1}}$ puede haber muchas otras funciones. Busca la fórmula de Wallis para el seno y el coseno elevados a potencias enteras.
G Cab
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Buscando un $f(x)$ independiente de $n$ , pongamos el conjunto en forma discreta, como una Suma de Riemann y así en forma de matriz $$ \eqalign{ & \int_0^1 {x^{\,n} f(x)\,dx} \quad \to \quad \sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,h - 1} {\left( {{k \over h}} \right)^{\,n} f\left( {{k \over h}} \right){1 \over h}} = \cr & = {1 \over {h^{\,n + 1} }}\sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,h - 1} {k^{\,n} \varphi _h \left( k \right)} = \cr & = \left( {{1 \over {h^{\,n + 1} }} \circ {\bf I}_{\,h} } \right)\left( {\matrix{ 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots \cr 0 & 1 & {2^1 } & {3^1 } & \cdots \cr 0 & 1 & {2^2 } & {3^2 } & \cdots \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \cr {\left( {h - 1} \right)^0 } & {\left( {h - 1} \right)^1 } & {\left( {h - 1} \right)^2 } & {\left( {h - 1} \right)^3 } & \cdots \cr } } \right)\left( {\matrix{ {\varphi _h \left( 0 \right)} \cr {\varphi _h \left( 1 \right)} \cr \vdots \cr \vdots \cr {\varphi _h \left( {h - 1} \right)} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 1 \cr {\left( \matrix{ 2 \cr 1 \cr} \right)} \cr \vdots \cr \vdots \cr {\left( \matrix{ 2h - 2 \cr h - 1 \cr} \right)} \cr } } \right) \cr} $$ donde $\left( {{1 \over {h^{\,n + 1} }} \circ {\bf I}_{\,h} } \right)$ es una matriz diagonal con elementos $1/h^{n+1}$
La matriz de Vandermonde es invertible, por lo que el sistema es resoluble, dando lugar a una $\varphi _h(k)$ .
Queda por ver si para $h \to \infty$ $\varphi _h(k/h)$ tiende a una función definida.
Pero aplicando la fórmula del Determinante de Vandermonde es fácil ver que el determinante de las dos matrices matrices del LHS disminuye rápidamente con $h$ para que el determinante de la inversa sea rápidamente creciente, y así
el valor absoluto de $\varphi (k)$ que, además, alterna su signo.
Así que podemos concluir que
a $f(x)$ independientemente de $n$ no existe.
InterstellarProbe
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Suponga que tiene una serie de Taylor: $$f(x) = \sum_{k\ge 0}a_kx^k$$
Entonces la integral:
$$\int_0^1 x^{n-1}f(x)dx = \int_0^1 \sum_{k\ge 0} a_kx^{k+n-1}dx = \left(\sum_{k\ge 0} \dfrac{a_k}{k+n}\right)$$
Nota: Esta integral sólo está definida para $n\ge 1$ . Por lo tanto, sólo tiene que elegir cualquier suma infinita que le da $\dbinom{2n}{n}$ y ya tienes la respuesta.
