¿Puede alguien dar su opinión sobre mi solución? Gracias.
Dejemos que $T: V\to V$ sea lineal y $V$ un espacio de producto interno de dimensión finita. Demostrar que $N(T^*T) = N(T)$ y $\dim(R(T^*T))=\dim(R(T))$ .
$\textbf{Solution:}$ Considere la relación $(T+U)^*=T^* + U^*$ . Queremos demostrar que el lado izquierdo es igual al lado derecho.
Dejemos que $x\in N(T^*T)$ entonces $T^*T(x) = 0$ . $$0=\langle T^*T(x), x\rangle = \langle T(x), T(x) \rangle.$$ Esto implica, $T(x) = 0$ para todos $x\in N(T)$ . Así, $N(T^*T) \subseteq N(T). \hspace{35 pt} (1)$
Para $x\in N(T)$ , $$T^*T(x) = T^*(0) = 0.$$ Por lo tanto, $x\in N(T^*T).$ Por lo tanto, $N(T) \subseteq N(T^*T). \hspace{35 pt} (2)$
A partir de (1) y (2), $N(T^*T) = N(T)$ .
De nuevo, como la dimensión es finita, $$R(T^*T) = N(T^*T)^\perp = N(T)^\perp = R(T^*).$$ Así, el rango $(T^*T)=$ rango $(T^*) = $ rango $(T)$ . Por lo tanto, el rango $(T^*T)=$ rango $(T)$ .
