¿Es el proceso iterativo convergente?

Question

Mi tarea es investigar la convergencia del siguiente proceso iterativo:

$$\frac{\mathrm{x}^{n+1}-\mathrm{x}^{n}}{\tau} + \frac{1}{4}A(3\mathrm{x}^{n+1}+2\mathrm{x}^{n}-\mathrm{x}^{n-1}) = \mathrm{b}$$

Obtengo una expresión para $\mathrm{x}^{n+1}$ : $$ \mathrm{x}^{n+1}= \big(\mathrm{b} - \big(\frac{1}{2}A - \frac{1}{\tau}\big)\mathrm{x}^{n} + \big(\frac{1}{4}A \big)\mathrm{x}^{n-1}\big) \big(\frac{1}{\tau}E + \frac{3}{4}A\big)^{-1} $$

Lo que hay que hacer a continuación no me queda claro, en particular, cómo buscar una matriz de transición $B$ ? Cómo deshacerse de $\mathrm{x}^{n-1}$ ?

Creo que podemos hacer una sustitución complicada aquí, pero no se me ocurre ninguna.

¿alguien puede ayudar con la solución?

Answer 1

Se trata de un método multipaso implícito para la ecuación diferencial $\dot x+Ax=b$ . Si $A$ es positivo (parte real de todos los valores propios positiva) y el tamaño del escalón dentro de la región de estabilidad (escalado por $-A$ ), la iteración debería converger a $x=A^{1}b$ .

Para explorar esa región de estabilidad, utilice la solución de prueba exponencial $x(t)=ce^{-t}$ para la ecuación homogénea, de modo que $x^n=ce^{-n}=cq^n$ . Para la solución exacta se sabe que $=A$ o un valor propio de $A$ .

Como la ecuación homogénea es homogénea, fijemos $c=1$ y sustituir $x^n=q^n$ índice izquierdo, potencia derecha, dividir por la potencia más baja de $q$ y hallar las dos soluciones de la ecuación cuadrática resultante en $q$ . Estas soluciones dependerán de $$ . Para la convergencia se necesitan ambas raíces dentro del círculo unitario.

import sympy
q, A, tau = sympy.symbols("q A \\tau")
eq = sympy.Eq(0, (q**2-q)/tau+A/4*(3*q**2+2*q-1))
rts = sympy.solve(eq,q)
print(sympy.latex(rts))

$$ \left [ \frac{- A \tau - 2 \sqrt{A^{2} \tau^{2} + 1} + 2}{3 A \tau + 4}, \quad \frac{- A \tau + 2 \sqrt{A^{2} \tau^{2} + 1} + 2}{3 A \tau + 4}\right ] $$

Esto no parece ser de ayuda inmediata.

Otra posibilidad es trazar el círculo unitario con $q$ y trazar los contornos que el valor $z=\tau A$ (si es escalar, si no $z=$ ) puede tomar

q = np.exp(1j*np.pi*np.linspace(-0.75,0.75,300))
R = lambda q: -4*q*(q-1) / (3*q-1)/(q+1)

z = R(q)
plt.plot(z.real, z.imag, 'b')
for k in range(1,4):
    z = R(0.995**k*q)
    plt.plot(z.real, z.imag, '.g', ms=2)
plt.grid(); plt.show()

La línea azul es el límite, los puntos verdes indican el interior de la región de estabilidad.

Esto, al menos, da la idea de que la estabilidad se puede conseguir independientemente de $\tau>0$ para todos $A>0$ y si $A$ es una matriz, si todos los valores propios tienen parte real positiva.

Answer 2

El planteamiento más sencillo para este tipo de análisis de convergencia debería ser el siguiente

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Sea $(x^n,n \in \mathbb{N})$ sea una secuencia de vectores en $\mathbb{R}^{d \times 1}$ , $B$ y $C$ sean dos matrices en $\mathbb{R}^{d \times d}$ , $b$ cualquier vector en $\mathbb{R}^{d \times 1}$ .
Supongamos que la siguiente relación recursiva es válida para todo $n$ $$x^{n+1}=Bx^n+Cx^{n-1}+b$$ Definimos $$v^n= \begin{bmatrix} x^n \\ x^{n-1} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{ 2d \times 1}$$ y $$T= \begin{bmatrix} B & C\\ \text{Id}_n & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2d \times 2d} \quad \tilde{b}= \begin{bmatrix} b \\ 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{ 2d \times 1}$$ entonces $$v^{n+1}=Tv^n+\tilde{b}$$

Este tipo de secuencia recursiva converge para todos los valores iniciales posibles $(v^1,\tilde{b})$ si el absoluto de cada valor propio de $T$ es menor que $1$
Por lo tanto, si se puede demostrar lo posterior a la afirmación anterior, se puede demostrar la convergencia deseada.