¿Cómo hacer riguroso el "cálculo intuitivo" de la probabilidad condicional?

Question

La definición de Probabilidad Condicional para los eventos $A$ y $B$ en el espacio de la muestra $S$ es $$\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.$$

A veces, utilizamos una versión reordenada de esta fórmula para calcular la probabilidad de la intersección de eventos - llamada ley multiplicativa de la probabilidad:

$$\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A|B)\times \mathbb{P}(B)$$

Al utilizar esta fórmula, ¿cómo se calcula $\mathbb{P}(A|B)?$ Ya que por definición se requiere la intersección para encontrar la probabilidad condicional? ¿Existe una definición/forma alternativa de calcular la probabilidad condicional cuando no se conoce la intersección?

He calculado la probabilidad condicional a través de la intuición muchas veces (por ejemplo, sacando canicas rojas/azules de una bolsa, sin reemplazo), pero me preguntaba si había algún tipo de convención estándar sobre cómo ¿Calcular la probabilidad condicional cuando no se conoce la intersección?

Ejemplo.

Digamos que tenemos tres personas (Alex, Bob, Carol) con sus tres sombreros. Digamos que cojo todos sus sombreros, los mezclo y devuelvo uno a cada persona. ¿Cuál es la probabilidad de que las personas A y B recuperen exactamente su propio sombrero?

"Solución" : La forma en que yo lo pensaría es: Que $E_A$ y $E_B$ ser los eventos en los que Alex y Bob recuperan sus sombreros respectivamente. Entonces, $$\mathbb{P}(E_A\cap E_B)= \mathbb{P}(E_B)\times \mathbb{P}(E_A|E_B)$$

La probabilidad de $E_B$ sería $\frac{1}{3}$ . Ahora, la forma en que yo calcularía $\mathbb{P}(E_A|E_B) $ intuitivamente , aunque No sé cuál es la intersección (porque es lo que estoy tratando de encontrar), es "Como Bob tiene su sombrero, me quedan dos sombreros, lo que da una probabilidad de $\frac{1}{2}$ para que Alex recupere su sombrero".

Esta lógica intuitiva de llegar a la probabilidad condicional directamente, cuando no utilicé/pasé por alto la definición, es lo que me gustaría aclarar/formalizar.

Answer 1

Digamos que tenemos una bolsa con una canica roja y dos azules. Sacamos dos canicas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean de distinto color? Si sacamos rojo en el primer turno, tenemos un 100% de probabilidades de sacar colores diferentes. Si sacamos azul, tenemos un 50% de posibilidades. Así que tenemos una $\frac23$ posibilidad de dibujar diferentes en general. Claramente, he utilizado la distribución condicional del evento "sacar colores diferentes" dado el color de la primera canica. ¿Cómo lo he hecho?

Resulta que, formalmente, la respuesta es bastante aburrida. Lo hice asumiendo que las distribuciones condicionales son como digo en el propio enunciado del problema. Cuando se habla de "dibujar sin reemplazo", básicamente se está diciendo lo siguiente:

1. Hay un conjunto $M=\{r, b_1, b_2\}$ de canicas.
2. Hay dos variables aleatorias con valor de canica, $X_1$ y $X_2$ .
3. $X_1$ es uniforme en $M$ .
4. $X_2$ es uniforme en $M\setminus\{X_1\}$ .

Esta no es una descripción matemática adecuada. El problema es el punto 4. Cuando se describe una variable aleatoria como "uniforme en $A$ ", $A$ tiene que ser un conjunto. Pero $M\setminus\{X_1\}$ no es un conjunto, es una variable aleatoria con valor de conjunto. Entonces, ¿cómo doy un significado formal al punto 4? Lo único que puedo hacer es afirmar directamente que $X_2$ tiene la distribución condicional que espero que tenga:

4. La distribución condicional de $X_2$ dado $X_1=x$ es uniforme en $M\setminus\{x\}$ .

Answer 2

Esto no responde exactamente a la pregunta, pero es demasiado para un comentario:

A veces, la probabilidad condicional ya se conoce. Por ejemplo, dejemos que $\{X_n:n=0,1,2,\ldots\}$ sea una cadena de Markov sobre los enteros no negativos con distribución inicial $\alpha$ y la matriz de transición $P$ es decir, para cada número entero no negativo $i$ tenemos $\mathbb P(X_0=i)=\alpha_i$ y para cada par de enteros no negativos $i,j$ tenemos $$ \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i) = P_{ij}, $$ (el $(i,j)$ -entrada de $P$ ). Entonces, la distribución de $X_1$ vendría dado por $$ \mathbb P(X_1 = j) = \sum_{i=0}^\infty \mathbb P(X_1 = j\mid X_0=i)\mathbb P(X_0=i) = \sum_{i=0}^\infty P_{ij}\alpha_i. $$

Answer 3

No hay una fórmula, pero sí un proceso.   Usted está utilizando este proceso, y es correcto hacerlo cuando puede.

Deberías tener algunos modelo para medir su probabilidad, y podría ajustar este modelo para evaluar una probabilidad condicional.   Si puedes hacerlo, entonces puedes hacerlo.

Mientras su modelo sea consistente, no importará el enfoque que adopte -calcular la conjunta a partir de la condicional y una marginal, o una condicional a partir de la conjunta y una marginal-, aunque una ruta puede parecer más fácil que otra y al fin y al cabo, por eso solemos utilizar la regla de Bayes.

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Por ejemplo, en su ejemplo de la bolsa de canicas rojas y azules, su modelo es que cada canica de la bolsa (en el momento del sorteo) tiene la misma probabilidad de ser seleccionada (que no hay sesgo), por lo que puede evaluar las probabilidades utilizando los recuentos de canicas de cada color en la bolsa.

$$\textsf{The conditional probability that the second marble is red, when given that the first is blue,}\\\textsf{assuming that there were originally $ m $ red and $ n $ blue marbles in the bag, will be}\\\mathsf P(R_2\mid B_1)=\dfrac{m}{m+n-1}\\\textsf{The probability that we first draw a red marble and secondly a blue,}\\\textsf{ when drawing two marbles from the bag without replacement, is:}\\\mathsf P(B_1\cap R_2){=\dfrac{\binom n1\binom m1/2!}{\binom{m+n}{2}}\\=\dfrac{n\cdot m}{(m+n)(m+n-1)}}$$

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Su ejemplo del sombrero es similar, y su pensamiento es correcto.   Si Bob tiene su sombrero cuando los sombreros se distribuyeron sin sesgo entonces Alan tenía su propio sombrero o el de Carol con igual probabilidad.

Alternativamente: Cuando los sombreros se distribuyen sin sesgo, hay seis formas igualmente probables de hacerlo, entre las cuales sólo una dará a Alan y Bob sus propios sombreros. Sin embargo, hay dos maneras entre las seis de que Bob pueda recuperar su propio sombrero. $$\mathsf P(E_A\cap E_B)=\tfrac{1}{3!}\\\mathsf P(E_B)=\tfrac {2!}{3!}\\\therefore\quad\mathsf P(E_A\mid E_B)=\tfrac 1{2!}$$