Sorprendentes aplicaciones de integración por partes

Question

¿Cuáles son tus aplicaciones favoritas de integración por partes?

(Las respuestas pueden ser tan lowbrow o highbrow como desee. Me gustaría conseguir un montón de estos en un solo lugar!)

Gracias por sus contribuciones, de antemano!

Answer 1

Siempre me gustó la derivación de la fórmula de Taylor con el término error:

$$\begin{array}{rl} f(x) &= f(0) + \int_0^x f'(x-t) \,dt\ &= f(0) + xf'(0) + \int_0^x tf''(x-t)\,dt\ &= f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}2f''(0) + \int_0^x \frac{t^2}2 f'''(x-t)\,dt \end{matriz}$$

y así sucesivamente. Usando el teorema del valor medio en el término final se obtiene fácilmente la forma de Cauchy para el resto.

Answer 2

Mi favorito esta semana, ya que lo aprendí ayer mismo: las integraciones de $n$ por partes producen $$ \int_0^1 \frac{(-x\log x)^n}{n!}dx = (n+1)^{-(n+1)}.$$ Then summing on $n$ yields $$\int0^1 x^{-x}\,dx = \sum{n=1}^\infty n^{-n}.$$$

Answer 3

Sea $f$ una función uno a uno diferenciable y $f^{-1}$ su inversa. entonces

$$\int f(x) dx = x f(x) - \int x f'(x)dx = x f(x) - \int f^{-1}(f(x))f'(x)dx = x f(x) - \int f^{-1}(u) du \,.$$

Por lo tanto, si conocemos la integral de $f^{-1}$, obtenemos la integral de $f$ de forma gratuita.

Por cierto: Esta es la razón por la que las integrales $\int \ln(x) dx \,;\, \int \arctan(x) dx \,; ...$ siempre se calculan utilizando la integración por partes.

Answer 4

La integración repetida por las piezas da $$\int_0^\infty x^n e^{-x} dx=n!$$

Answer 5

Ceja alta: Sea $f(\theta)$ una función suave del círculo a $\mathbb{R}$. Los coeficientes de Fourier de $f$ están dados por $a_n = 1/(2 \pi) \int f(\theta) e^{-i n \theta} d \theta$.

Integración por partes: $$a_n = \frac{1}{n} \frac{i}{2 \pi} \int f'(\theta) e^{- i n \theta} d \theta = \frac{1}{n^2} \frac{-1}{2 \pi} \int f''(\theta) e^{- i n \theta} d \theta = \cdots$$ $$\cdots = \frac{1}{n^k} \frac{i^k}{2 \pi} \int f^{(k)}(\theta) e^{- i n \theta} d \theta = O(1/n^k)$$ para cualquier $k$.

Por lo tanto, si $f$ es suave, los coeficientes de Fourier mueren más rápido que $1/n^k$ para cualquier $k$. De manera más general, si $f$ tiene derivadas continuas $k$, entonces $a_n = O(1/n^k)$.