¿La heurística más perjudicial?

Question

¿Cuál es la heurística más perjudicial (para una correcta educación matemática) que has visto enseñar/enseñar accidentalmente? ¿En qué momento la manipulación ha inhibido el aprendizaje adecuado?

Answer 1

El "tamaño" de un espacio vectorial finito es proporcional a su dimensión.

De hecho, el "tamaño" de un espacio vectorial de dimensiones finitas es casi siempre mejor considerarlo como exponencial en su dimensión. Esto es más fácil de ver para los espacios vectoriales (de dimensión finita) sobre campos finitos, que tienen cardinalidad finita. Pero es una heurística mejor incluso para espacios vectoriales sobre campos infinitos.

La interiorización de la intuición correcta aclara por qué la formación del producto directo (algebraico) de dos espacios vectoriales hace que sus dimensiones se sumen, y no se multipliquen como ingenuamente se podría esperar basándose en el hecho de que tomar el producto directo de grupos multiplica sus órdenes.

Otro punto confuso al que conduce esta idea errónea se refiere a la ventaja que los ordenadores cuánticos ofrecen sobre los clásicos. A veces se dice que "los ordenadores cuánticos tienen un espacio de estados exponencialmente grande en número de qubits", pero esto es muy engañoso, porque clásico Los ordenadores también tienen un espacio de estados que es exponencialmente grande en el número de bits . La mejor intuición es: como los ordenadores cuánticos tienen un espacio de estados cuyo dimensión es exponencialmente grande en el número de qubits, el espacio de estado en sí mismo es en realidad doblemente exponencial en el número de qubits, mientras que el espacio de estados de un ordenador clásico es sólo solo exponencial en el número de bits.

La razón por la que esta idea errónea está tan extendida es que los primeros cursos de álgebra lineal casi siempre comienzan con espacios vectoriales sobre campos infinitos (normalmente $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ), que tienen una cardinalidad infinita, por lo que la dimensión es el único número finito disponible. Esta práctica conduce a una intuición errónea para los espacios vectoriales generales.

Answer 2

"El conocimiento matemático está contenido y comunicado principalmente por documentos".

No estoy seguro de que esto sea una heurística, pero en términos de creencias que inhiben el aprendizaje, ésta es definitivamente la que más perjudicó mi desarrollo matemático.

Yo diría que la afirmación correcta es "El conocimiento matemático está contenido principalmente en la mente de los matemáticos y se comunica principalmente mediante la comunicación oral informal".

Esta creencia problemática surgió de la forma en que a mí (y a casi todo el mundo) nos enseñaron matemáticas en la licenciatura y en los primeros años de posgrado. En este contexto, los textos son una autoridad central y un recurso completo y bien escrito para los conocimientos necesarios para resolver cualquier problema matemático que se plantee.

En el mundo de la investigación matemática, esto ya no es así. Al final me di cuenta de ello leyendo el ensayo de Thurston "On proof and progress in mathematics", que recomiendo encarecidamente a cualquier matemático principiante.

Tal vez sea posible hacer investigación matemática utilizando papeles como recurso primario, pero creo que esto es altamente ineficiente. Pasé varios años intentando aprender el modelo estándar no conmutativo leyendo los documentos disponibles sobre el tema y no hice ningún progreso real. Mirando hacia atrás, creo que nunca tuve la oportunidad de tener éxito con este enfoque.

Supongo que para tener éxito en las matemáticas, es absolutamente vital participar regularmente en conversaciones con matemáticos en activo, por muy incómodo e intimidante que sea.

Answer 3

Hablar de "funciones" cuando en realidad estamos hablando de clases equivalentes de funciones casi siempre iguales

Un elemento de un $L^p(X)$ se suele llamar "función", y se suele denotar con las letras que se utilizan habitualmente para las funciones ( $f$ , $g$ , $h$ etc.).

Parece ser una heurística perjudicial actuar "como si" $L^p(X)$ está hecho de funciones, ya que una función es realmente algo que debe dar un valor para cada punto $x$ en $X$ . Soy consciente de que ahora es una práctica común, pero estoy seguro de que ayudaría introducir un nombre real además de "función" para llamar a " clases equivalentes de funciones módulo de igualdad en casi todas partes ". Este concepto es fundamental y debería tener un nombre propio. No tengo una propuesta para tal nombre, pero me gustaría que alguien en el pasado lo hiciera.

Answer 4

Lo que sigue se refiere al sistema escolar de Alemania, puede ser diferente en otros países:

En mi opinión, una heurística realmente mala ocurre en la escuela primaria, cuando los niños aprenden aritmética con números naturales. Aprenden que la suma y la resta son dos cosas totalmente diferentes, porque se les enseña $a+b=b+a$ pero $a-b\neq b-a$ . Así, la suma es conmutativa y la resta no. A ese nivel, los números se entienden únicamente como enumeraciones de objetos.

A continuación, aprenden los números con unidades, como las longitudes, los precios o los pesos. También aprenden que los números pueden tener un significado geométrico, por ejemplo, como longitudes de segmentos de líneas. Pero todavía no tienen el concepto de números negativos.

Años más tarde, cuando por fin llegan a conocer también los números negativos, tienen tan incorporado que la resta es algo diferente a la suma que tienen dificultades para captar que $a-b=a+(-b)=(-b)+a$ Es decir, que la resta no es más que la suma de un número negativo.

Creo que posponer los números negativos tanto tiempo es un error, y que los niños de primaria serían muy capaces de entenderlos.

Answer 5

"Las matemáticas básicas (y útiles) consisten en cálculos y las matemáticas superiores (puras) en pruebas".

Una de las razones por las que creo que esto es perjudicial es que no hay una línea clara entre los cálculos y las pruebas. Muy a menudo un determinado cálculo es esencialmente la prueba, salvo algunas conectivas lógicas. Por el contrario, en la lógica formal se puede crear un "cálculo" que hace que las pruebas parezcan cálculos.

Otra razón es que lleva a los alumnos (y, sobre todo, a los profesores) a pensar que es necesario un cambio drástico de mentalidad para aprender matemáticas superiores.

Es cierto que análisis es muy diferente de cálculo aunque haya una fuerte vinculación. Sin embargo, la primera también conduce a mejores técnicas para calcular las cosas. Poner demasiado énfasis en el aspecto de "demostración" del análisis tiende a desanimar a muchos estudiantes que disfrutaban jugando con polinomios, trigonometría y cálculo. A la inversa, a muchos estudiantes a los que les gusta trabajar con pruebas se les anima a creer que lo que están haciendo es de alguna manera "superior" (más alto) al "simple" cálculo; entonces no hacen suficientes ejercicios de cálculo, lo que les perjudica si realmente se dedican a las matemáticas.