¿La heurística más perjudicial?

Question

¿Cuál es la heurística más perjudicial (para una correcta educación matemática) que has visto enseñar/enseñar accidentalmente? ¿En qué momento la manipulación ha inhibido el aprendizaje adecuado?

Answer 1

En la escuela primaria hay falsos principios que cuesta mucho esfuerzo superar:

• Los problemas de matemáticas tienen una respuesta.
• Hay un método correcto.

Estos pueden estar bien (aunque el segundo es discutible) cuando se trabaja en $1+2$ pero no cuando se trata de aislar una variable, graficar una función, reconocer cómo se puede aplicar la regla de la cadena, resolver un problema de palabras complicado o demostrar algo. Muchos estudiantes no creen que las matemáticas sean un lugar para experimentar o aplicar la creatividad. Tienen miedo de dar pasos incorrectos incluso cuando ya no es conveniente o posible decir cuál es el primer paso correcto.

Hay una aplicación interesante llamada Dragonbox . Es muy popular en Noruega. Cuando los niños piensan en el álgebra como un rompecabezas o un juego, se sienten libres para experimentar y aprenden rápidamente a hacer cosas como aislar variables, que suelen dar problemas a los estudiantes de álgebra. Ver también las entradas del blog de Terry Tao sobre gamificación álgebra . Los estudiantes pueden aprender a resolver los problemas, pero tienen dificultades porque estos principios incorrectos se interponen.

Answer 2

Lo contrario de la sentencia de Qiaochu es igual de engañoso: "las fórmulas son funciones". Hay muchas expresiones no denotadas. Lo que ocurre es que los matemáticos no suelen escribir términos no denotados con mucha frecuencia. Por supuesto, hay una buena razón para ello: no se puede demostrar nada interesante sobre los términos no denotados (o más bien, demasiado). Pero entonces los estudiantes nunca llegan a intuir que hay expresiones que son "basura", ni herramientas para demostrar que algo es "basura".

Mi expresión "basura" favorita es $$1/\frac{1}{\left( x - x \right) } $$

Para que no pienses que esto no es muy importante, intenta "enseñar" cálculo de primer año a un ordenador, y verás cómo estos términos sin denotar son de lo más problemáticos.

Answer 3

"Los vectores son segmentos de línea dirigidos". Cuando se formula de esta manera, esta expresión sólo es aceptable si el alumno se conforma con subirse a su bicicleta al final de la clase y no volver nunca más a las matemáticas.

Answer 4

No estoy seguro de si esto se puede calificar exactamente, pero nunca puedo recordar qué teoremas de la teoría de grupos se aplican a los grupos finitos, y cuáles se aplican a los grupos en general. Cada vez que recuerdo un resultado, tengo la sensación de que aparece en un libro de texto precedido por "para el resto de esta sección, que G sea un grupo finito". No estoy seguro de que este temor esté bien fundado (aparte de los teoremas que obviamente no tienen sentido para grupos infinitos, como los teoremas de Sylow).

Answer 5

Un (iso)morfismo natural es aquel que es "canónico", o que se define sin hacer "elecciones", o que se define "de la misma manera" para todos los objetos.

Esta es una heurística que he encontrado en todos los textos de introducción a la teoría de categorías que recuerdo haber leído (y que suele ir seguida del dual simple/doble de un espacio vectorial como ejemplo) y me llevó bastante tiempo darme cuenta de que esto no sólo es inexacto, sino simplemente erróneo.

Explicación de la "maldad": Un morfismo natural es un morfismo entre dos functores . Es decir, un morfismo en la categoría de funtores entre dos categorías. Y como tal, debe pensarse como de costumbre como un mapeo de los "datos" de una manera que preserva la "estructura" y las opciones no tienen realmente nada que ver con ella.

Por ejemplo, pensar en un grupo $G$ como una categoría de un objeto, los funtores desde ella a la categoría de conjuntos forman la categoría de $G$ -sets. Un morfismo de $G$ -es un mapa de conjuntos que preserva la acción de $G$ y no un mapa de conjuntos que "no implica elecciones". Lo mismo ocurre con otras categorías familiares de funtores (representaciones, gavillas, etc.)

Otro ejemplo es la categoría de funtores de la categoría de un objeto $G$ de nuevo a sí mismo. Para dar un mapa natural (isomorfismo) desde el functor de identidad de $G$ a sí mismo es sólo para elegir un elemento del centro de $G$ . No me imagino a nadie describiéndolo como algo que "no implica opciones".

Además, cada categoría $C$ es la categoría de funtores de la categoría terminal de objeto-uno-morfismo a $C$ . Por lo tanto, todo morfismo en cualquier categoría es un "morfismo natural entre funtores", por lo que realmente no tiene sentido especificar una heurística para cuando un morfismo es "natural". Esto no tiene ningún sentido.

En la otra dirección, es fácil escribir mapas "canónicos" entre dos funtores que no son naturales en el sentido técnico. Conisder la categoría de conjuntos infinitos bien ordenados con débilmente funciones monótonas. La "función sucesora" está definitivamente definida "de la misma manera" para todos los objetos, pero no es un endomorfismo natural del functor identidad en el sentido técnico.

Explicación de la nocividad" : Bueno, supongo que está claro que una heurística completamente errónea es una mala heurística, pero sólo señalaré un ejemplo concreto que quizá no sea tan importante, pero que muestra claramente el problema. Al mostrar que toda categoría es equivalente a una categoría esquelética hay una construcción muy "no canónica" de los isomorfismos naturales. He visto a varias personas confundirse seriamente con esto.

Algunas reflexiones : Se podría argumentar que esta heurística fue promovida por las mismas personas que inventaron la teoría de las categorías (como Maclane) y, por lo tanto, quizás sea un poco presuntuoso declararla como "claramente errónea". Mi opinión es que en aquella época se consideraban principalmente las categorías grandes (como todo conjuntos, todo espacios, todo grupos, etc.) como dominio y codominio de funtores y se centran en los isomorfismos . En estas situaciones es poco probable que el functor tenga automorfismos no triviales (o que tenga muy pocos y "poco interesantes") y por lo tanto un natural El isomorfismo será de hecho único así que tal vez éste sea el origen de la heurística (es sólo una suposición, no soy un experto en la historia de la teoría de las categorías).

Esto se relaciona con el hecho de que, por definición, si la especificación de un objeto no implica elecciones, entonces es único (esto es una tautología). Así que cuando decimos que un isomorfismo es "canónico" solemos querer decir que, dadas suficientes restricciones, es único (y no sólo natural en el sentido técnico). Por ejemplo, la razón por la que identificamos el conjunto $A\times (B \times C)$ con el conjunto $(A\times B)\times C$ no es porque haya una natural isomorfismo entre ellos, sino porque si consideramos los conjuntos productos con las proyecciones a $A,B$ y $C$ , entonces hay un único isomorfismo entre ellos. Y esto está en línea con la filosofía general de identificar los objetos cuando (y sólo cuando) son isomorfos en un único manera. En cambio, no identificamos dos elementos de un grupo $G$ sólo porque son conjugados (Esto es "naturalmente isomorfo" visto como funtores de una categoría de objetos $\mathbb{Z}\to G$ ) precisamente porque este isomorfismo natural no es único.

Bueno, no pretendía que esto se alargara tanto... Sólo preveía algunas respuestas "hostiles" defendiendo esta heurística, ¡así que he intentado ser lo más convincente posible!