¿Cuál es la heurística más perjudicial (para una correcta educación matemática) que has visto enseñar/enseñar accidentalmente? ¿En qué momento la manipulación ha inhibido el aprendizaje adecuado?
Sí, es cierto. Tomemos el grupo abeliano libre A generado por el conjunto de todos los tipos de fruta y consideremos el homomorfismo natural sobre el grupo abeliano libre generado por {Fruit} inducido al enviar cada generador de A al único generador de <Fruit> ...
Esto no es realmente una heurística, pero odio "las funciones son fórmulas". A la mayoría de los estudiantes les cuesta mucho tiempo pensar en una función como algo distinto a una expresión algebraica, aunque los ejemplos algorítmicos naturales están por todas partes. Por ejemplo, algunos estudiantes no piensan en
\begin{gather} f(n) = \{\text{1 if $n \bmod 2 = 0$ $\lor$ $-1$ otherwise}\} \end{gather}
como una función hasta que la escriba como $f(n) = (-1)^n$
Creo que esto surge incluso en la división superior de álgebra lineal, cuando se empieza a hablar de las transformaciones lineales generales, o, algo aún más difícil para los estudiantes, el espacio de las transformaciones lineales de V a W. Trabajé con un estudiante durante mucho tiempo en esto
Creo que en segundo de bachillerato los alumnos normalmente inteligentes deberían pillar perfectamente el punto con esto.
Soy estudiante de bachillerato y puedo decir sin temor a equivocarme que la mayoría de mis compañeros no entienden lo que es una función. Los únicos que lo hacen parecen haber aprendido de la programación. Por otra parte, todos los alumnos con verdadero talento matemático de mi pequeñísimo instituto también programan...
Las funciones parecen colarse en algún lugar a lo largo de la línea sin una introducción adecuada, y luego se asume que los estudiantes lo saben a partir de ahí.
Un tensor es una matriz multidimensional de números que se transforma de la siguiente manera bajo un cambio de coordenadas...
Lo vi durante años, y nunca lo entendí hasta que vi la definición real de un tensor.
[Aclaración] Lo siento, lo dejé muy vago. Un tensor es una función multilineal que mapea algún producto de espacios vectoriales $V_1\times \cdots \times V_n$ a otro espacio vectorial. En el contexto de la geometría diferencial, estamos hablando realmente de un tensor campo que asigna a cada punto un tensor que actúa sobre los espacios tangente y/o cotangente en el punto.
Es posible una definición más abstracta considerando productos tensoriales de espacios vectoriales, pero la definición que utiliza funciones multilineales es (para mí) extremadamente intuitiva y lo suficientemente general para un primer encuentro. Además, conduce de forma bastante natural a los conceptos abstractos en cuanto se empieza a pensar en el conjunto de todos los tensores de un rango determinado y su estructura.
La definición de "array multidimensional" adolece de confundir objeto y representación. El array es una codificación de la función multilineal subyacente, y es perfectamente razonable si se entiende así (para responder parcialmente al comentario de Scott Aaronson). Desgraciadamente, la codificación depende de una elección arbitraria (sistema de coordenadas), mientras que la función subyacente obviamente no lo hace, por lo que se vuelve muy confuso si se intenta utilizar como definición.
En cuanto a la accesibilidad (también en referencia al comentario de Scott Aaronson): No estoy muy de acuerdo: Creo que las funciones multilineales son bastante accesibles. Asumiendo una familiaridad con los espacios vectoriales y las transformaciones lineales, las funciones multilineales son una extensión natural y muy tangible de esas ideas. Y como la multilinealidad es el concepto clave subyacente a los tensores, si vas a tratar con tensores, realmente deberías morder la bala y tratar con el concepto.
En la misma línea que las respuestas de Qiaochu y Zach, la heurística comúnmente enseñada en relación con las funciones, la diferenciabilidad y la integración son un odio a mi mascota.
Ciertamente, salí de la escuela pensando en las funciones como fórmulas que implican combinaciones de funciones elementales y teniendo una comprensión muy pobre de la relevancia y la relación correcta entre la integración y la diferenciación, cuya peor manifestación, ahora que soy un poco mayor, parece haber sido que
La diferenciación es una operación agradable y computable y nos habla de funciones; la integración es difícil y nos habla de áreas bajo curvas.
Las áreas bajo las curvas nunca parecieron interesantes. Como analista, mis sentimientos personales hacia ellas se han invertido casi por completo y considero que la integración es mi amiga y la diferenciación el enemigo.
Diferenciación utiliza regularidad; integración suaviza .
La nemotecnia "FOIL" (first+outside+inside+last) para multiplicar dos binomios es terrible. Suprime lo que realmente ocurre (tres aplicaciones de la propiedad distributiva) en favor de un algoritmo. En otras palabras, está enseñando a un ser humano a comportarse como un ordenador.
El legado de FOIL queda claro cuando se pide a los alumnos que multipliquen tres binomios, o dos trinomios. Los alumnos no suelen tener ni idea de qué hacer, lo intentan pero se pierden en el álgebra, o lo consiguen pero se quejan de lo arduo de la tarea.
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A la vista de muchas de las respuestas a esta pregunta, podría ayudar tener en el enunciado una definición de heurística aplicada a las matemáticas.
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De hecho, la entidad perjudicial en la mayoría de las respuestas no es una heurística en absoluto.
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Cálculo. En muchas universidades pequeñas (incluida la mía) los estudiantes tienen que cursar Cálculo antes que Análisis Real, y creo que esto hace mucho daño.