Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie y $\pi:P\rightarrow M$ ser un director $G$ paquete.
La noción de reducción del grupo estructural es estándar, pero la recordaré aquí por si alguien la necesita.
Dejemos que $f:P(M,G)\rightarrow P'(M',G')$ sea un morfismo de haces principales tal que $f:P\rightarrow P'$ es una incrustación y $f:G\rightarrow G'$ es un monomorfismo. Si $M=M'$ abd el mapa inducido $f:M\rightarrow M'$ es un mapa de identidad, llamamos $P(M,G)$ que se reduzca el paquete para $P'(M,G')$ .
Dado un haz principal $P’(M’,G’)$ y un subgrupo de Lie $G$ de $G’$ decimos que el grupo estructural $G’$ se reduce a $G$ si hay un paquete reducido $P(M,G)$ .
La reducción del grupo estructural dice algo interesante sobre los colectores que lo involucran. Por ejemplo,
- Un colector admite una estructura casi compleja si el haz de tramas en el colector, cuyas fibras son $GL(2n,\mathbb{R})$ se puede reducir al grupo $GL(n,\mathbb{C})\subset GL(2n,\mathbb{R})$ .
- Un colector es orientable si y sólo si su haz de marcos puede reducirse al grupo ortogonal especial, $SO(n,\mathbb{R})\subset GL(n,\mathbb{R})$ .
Estoy interesado en conocer resultados similares sobre la reducción del grupo estructural. Por favor, añada referencias (si es posible, un esquema de la prueba) para los resultados que cita aquí. Un resultado en una respuesta, por favor.
