Takhtajan "de la Mecánica Cuántica para los Matemáticos"

Question

Quiero saber las matemáticas que se requiere para leer Takhtajan "de la Mecánica Cuántica para los Matemáticos". De el libro de la vista previa de Google, deduzco que el álgebra, la topología, (diferencial) de la geometría y el análisis son necesarios. ¿A qué nivel real y el análisis complejo necesito, y algunos buenos libros para aprender de ellos?

PS - Esperemos grupo adecuado :-)

Answer 1

Como me he tomado un lugar vistazo de cerca a todos los 8 capítulos, me puede ofrecer una perspectiva precisa. Yo primero lo que usted no necesita saber/poder leer acerca de, digamos, el 90% del texto:

(i) Un conocimiento previo de la física. (Esto se menciona en el prefacio).

(ii) $C^\ast$-álgebras. (A veces se lo $C^\ast$-álgebra es, sino que se utiliza simplemente como conveniente idioma, y rara vez son capaces de invocar profundo hechos tales como la Gelfand-Naimark teorema. Recomiendo que miren esta cuando la necesitas/quieres entender.)

(iii) la geometría Compleja (Kähler colectores), teoría de la Gavilla (Rodeada de espacios). (Mismo comentario en (ii) se aplica, la Gavilla de la teoría de la terminología que se utiliza principalmente en el capítulo 8).

(iv) topología Algebraica (Singular cohomology, Stiefel Whitney clases). (Si usted no sabe nada acerca de la topología algebraica (cohomology de la teoría), es casi imposible mirar esto y entenderlo sin esfuerzo serio; pero creo que es utilizado sólo en dos lugares en el capítulo 8).

(v) el álgebra Homológica (Hochschild cohomology, la Mentira álgebra y grupo cohomology). (Mismo comentario en (iv), a veces se dice que algo es un cocyle, pero explicar lo que significa esto de forma explícita. Se introduce también el Hochschild complejo para el tratamiento de la deformación de cuantización, así que esto es básicamente auto-contenida.)

(vi) la Categoría de teoría. (En un momento se habla de la categoría de poisson colectores y una cierta equivalencia de categorías, pero aquí el comentario de (ii) se aplica.)

(vii) Cálculo de variaciones. (Que introducir todo lo que necesita, que no es cualquier cosa: el principio de la menor acción y el de Euler ecuaciones de Lagrange. También (rara vez) el uso de la terminología de Frechet colectores. Me dijeron que por T. Shiffrin que este tipo de cosas son las introducidas por ejemplo, Lang, geometría diferencial libro, pero "ordinario" de la DG de libros no parecen tratar con él.)

Dicho esto, me apuntan ahora lo que es muy esencial y viene con bastante frecuencia.

(I) geometría Diferencial (generalidades, tales como (co)tangente haces y la inducida por los mapas, los haces de fibras y el vector de paquetes de formas diferenciales, la mentira soportes y derivados, Riemann colectores, conexiones, flujos). Esto es particularmente utilizado a menudo en el capítulo 1. Yo recomendaría la lectura de los capítulos pertinentes Lee la introducción suave colectores, o en un equivalente de la fuente. También uso bastante a menudo terminología procedente de la Mentira de grupos y álgebras (tales como la envolvente de álgebra de la mentira álgebra), y rara vez profundo hechos tales como Ado del teorema. (Para esto último se debe considerar la posibilidad de buscar en un libro de texto sobre el tema, para el primero lea el capítulo correspondiente Lee.)

(II) teoría de la Medida (generalidades, probabilidad de medidas de lebesgue stietljes integral, fubini del teorema, el teorema de riesz, el radón nikodym derivados).

(III) el análisis Funcional (generalidades sobre el espacio de hilbert, adjunto los operadores, espectro, Piedra teorema de Weierstrass, Espectral teorema de Hilbert-Schmidt teorema de, Piedra del teorema, la distribución de la teoría como por ejemplo el de Schwartz núcleo teorema o la N-teorema de representación, un poco de Sobolev en espacios de la terminología). Este es el problema más grave (y que sin duda debe tener un poco de fondo, incluso a pesar de que hablar de la mayoría de los resultados que necesitan), y recomiendo los libros (principalmente volumen I) de Caña/Simon (métodos modernos de matemáticas. la física) para este material (aparte de los espacios de Sobolev, para lo cual recomiendo Brezis del análisis funcional libro).

(IV) UN poco de álgebra: principalmente un poco de teoría de la representación (por ejemplo, Schur del lexema, Jóvenes tableaux) y tensor de productos (por ejemplo, la extensión de escalares, en particular complejización) que es tratado en los capítulos pertinentes de Lang (posgrado) álgebra de texto o de Fulton/Harris de la teoría de la representación libro. (Mi favorito tratamiento del tensor de producto se puede encontrar en Atiyah/Macdonald introducción al álgebra conmutativa.)

(V) Un poco de análisis complejo: si usted ha tomado ningún tipo de complejos, curso de análisis merece el nombre, probablemente tiene bastante fondo. Se utiliza principalmente en primaria los resultados, tales como el hecho de que toda una función admite una todas partes convergente poder de expansión de la serie. A veces también utilizan muy elemental de análisis de fourier, tales como el teorema de plancherel.

(VI) UN poco de topología general: Principalmente en primaria los resultados de las generalidades, en un punto que usar el punto de compactification de $\mathbf{R}^n$.

Generalmente hablando, el libro puede parecer intimidante, pero no tenga miedo, muchas cosas son de la terminología que es fácil de recoger. Sé que "un poco de [...]" no es muy preciso, pero lo que quiero decir con esto es que si usted ha tomado un curso de iniciación a la [...] entonces usted probablemente tiene bastante fondo. (En algunos casos lo que realmente uso es incluso menos, pero en general, como Hardy, "también debemos recordar que una reserva de conocimiento es siempre una ventaja, y que la mayoría de las prácticas de los matemáticos pueden ser discapacitados graves si su conocimiento es el mínimo que es esencial para él".)

Answer 2

Yo miraba a través de Conferencias sobre la Mecánica Cuántica por Leon Takhtajan, y desde mi skimming, parece que usted necesita para tener una buena comprensión de:

1. Topología (probablemente en el orden de Munkres)
2. Cálculo de la Variación de la
3. Lagrangiana y Hamiltoniana de la Mecánica
4. Capacidad para seguir las manipulaciones de vector de identidades
5. Análisis Real en el nivel de Rudin o Apostol.
6. Una comprensión de los conjuntos de Borel
7. Una comprensión de los colectores de todo tipo de manera sólida Geometría Diferencial de texto
8. Debe saber transforma además de Laplace y de Fourier

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Yo, también, visitó a su página web del curso en la Universidad de Stony Brook y esto es lo que he encontrado. Tenga en cuenta que Munkres fue incluido en los cursos básicos, pero desde que he mencionado arriba, los dejé en esta lista.

Requisitos previos: El núcleo básico de los cursos de plan de estudios y los fundamentos de MAT 551, MAT 552, MAT 568, MAT 569. Esta lista proviene de Takhtajan recomendación de cursos necesarios para la clase:

1. El Análisis funcional por Peter Lax
2. Una Introducción a la Mentira de Grupos y Álgebras de Lie por A. Kirillov Jr.
3. Geometría de riemann, por Peter Petersen, Springer, 2005.
4. Lars Ahlfors, Análisis Complejo
5. Dummit y Foote Álgebra Abstracta
6. Walter Rudin, Reales y complejos análisis
7. Michael Spivak, Una Completa introducción a la geometría diferencial (esta es una de mutli conjunto de volúmenes)
8. Michael Taylor, ecuaciones diferenciales Parciales (este un juego de dos volúmenes)

Él también dice: Todos los hechos necesarios a partir de la teoría de operadores en espacios de Hilbert.