Demostrar que $\mathbb{E}(e^{tX})<\infty$

Question

Dejemos que $X$ sea una Variable Aleatoria discreta con valores en $\left\{1,2,3,\ldots\right\}$ . Se trata de demostrar que $$ \mathbb{E}(e^{tX})<\infty. $$ Como hinbt se da que basta con demostrar que $$ P(X>k)\leqslant e^{-ck} $$ para algunos $c>0$ .

¿Podría explicarme por qué es suficiente?

Sólo sé que $$ \mathbb{E}(e^{tX})=\sum_{n=1}^{\infty}e^{tn}\cdot P(X=n). $$

Answer 1

Debemos tener alguna restricción adicional ya que la desigualdad de Jensen da $$\mathbb{E}[e^{tX}]\geq e^{t\mathbb{E}[X]},$$ por lo que si $\mathbb{E}[X]=+\infty$ lo mismo ocurre con $\mathbb{E}[e^{tX}]$ con $t>0$ .

Una afirmación correcta es: dado que para alguna constante positiva $c$ $$\forall k\in\mathbb{N},\quad \mathbb{P}[X>k]\leq e^{-ck}$$ se mantiene, demuestre que $\mathbb{E}[e^{t X}]$ es finito para cualquier $t\in(0,c)$ .

Para proporcionar un límite superior para $\mathbb{E}[e^{t X}]$ es suficiente para proporcionar buenos límites para los momentos $\mathbb{E}[X^n]$ , entonces explota el hecho de que la función exponencial es una función entera. Ya que: $$\mathbb{P}[X^n>k]\leq e^{-c k^{1/n}},$$ se deduce que: $$\mathbb{E}[X^n]=\sum_{k\geq 1}\mathbb{P}[X^n>k] \leq \sum_{k\geq 1}e^{-c k^{1/n}}\leq \int_{0}^{+\infty}e^{-c k^{1/n}}\,dk=\frac{n!}{c^n}$$ por lo tanto: $$\mathbb{E}[e^{tX}]=\sum_{n\geq 0}\frac{t^n \mathbb{E}[X^n]}{n!}\leq\frac{1}{1-\frac{t}{c}}.$$