Demuestre que la ecuación de Laplace es invariante por rotación: ¿Problemas al pensar en el operador de Laplace?

Question

Así que entiendo los dos métodos de prueba: http://math.gmu.edu/~memelian/teaching/Fall11/math678/hw/hw1sol.pdf

Pero tengo problemas para conciliar la definición del operador de Laplace como la suma de segundas derivadas parciales con la definición de la forma vectorial (Dx(v)*Dx(v)) que parece que sería la suma de primeras derivadas parciales al cuadrado... ¿alguien me puede aclarar? ¿Me estoy olvidando de algo básico?

Answer 1

¿De dónde viene la "definición de forma vectorial"? A veces se ve un término de esta forma (llamado energía de Dirichlet) integrado sobre un colector cerrado y compacto $M$ para obtener, por integración por partes, $$\int_M \nabla v \cdot \nabla v = \int_{\partial M} (\nabla v \cdot \hat{n})\nabla v - \int_M v \Delta v = -\int_M v\Delta v$$ pero nótese que esta ecuación sólo es verdadera integrada sobre $M$ no de forma puntual.

Answer 2

Tienes razón en que $Du \cdot Du$ es la suma de cuadrados de las primeras derivadas y no el laplaciano. Supongo que se trata de un error tipográfico y que debe ser $D_x \cdot D_x u$ - si se elimina el primer $u$ de cada expresión en la cadena de igualdades, entonces lo que se obtiene se parece a la "forma vectorial" del argumento de coordenadas, siempre que se permita un pequeño abuso de la notación.