Resolver para $x$ : $5^{x+2} + 2^{x+1} = 2^{x+5} + 13\cdot{5^x}$

Question

Acabo de tener una prueba de unidad sobre Logaritmos y la pregunta de pensamiento era Resolver para x con la siguiente ecuación dada : $$5^{x+2} + 2^{x+1} = 2^{x+5} + 13\cdot5^x$$

La respuesta es $1$ pero la pregunta vale 5 puntos, así que ¿cómo mostrarías tu trabajo para esta pregunta? Intenté registrar ambos lados pero luego no supe cómo expandirme después de eso. Creo que todo el mundo tiene esta pregunta mal en mi clase ... así que espero que no cuenta la pregunta.

Answer 1

Tenemos $$25\cdot5^x+2\cdot2^x=32\cdot2^x+13\cdot5^x,$$ recopilación de términos similares $$12\cdot 5^x=30\cdot2^x,$$ dividiendo por $6$

$$2\cdot 5^x=5\cdot 2^x,$$ o de forma equivalente

$$\frac{2}{5}=\Big(\frac{2}{5}\Big)^x,$$

así que por supuesto

$$x=1.$$

Answer 2

escriba su ecuación en la forma $$25+\left(\frac{2}{5}\right)^x\cdot 2=\left(\frac{2}{5}\right)^x\cdot 32+13$$ y Sustitución $$t=\left(\frac{2}{5}\right)^x$$

Answer 3

$$5^{x+2}+2^{x+1}=2^{x+5}+13(5^x)$$$$ 5^25^x+2^12^x=2^52^x+13(5^x) $$$$(5^2-13)(5^x)=(2^5-2^1)(2^x)$$$$ 12(5^x)=30(2^x) $$$$2(5^x)=5(2^x)$$$$ 5^{x-1}=2^{x-1} $$$$\left(\frac52\right)^{x-1}=1$$$$ (x-1) \ln\frac52 =(x-1) \ln1 =0 $$$$x-1=0$$$$ x=1$$

Answer 4

En realidad, no es necesario utilizar logaritmos para resolver el problema, sólo las leyes de los exponentes. Así que nos dan la ecuación:

$5^{x+2}+2^{x+1}=2^{x+5}+13\cdot5^x$

Ahora reordenamos la ecuación para obtener todos los términos con bases de $2$ por un lado, y $5$ en el otro lado, lo que nos da:

$5^{x+2}-13\cdot5^x=2^{x+5}-2^{x+1}$

Recuerda la ley del exponente, $b^x\cdot b^y=b^{x+y}$ , por lo que podemos reescribir la ecuación como,

$(5^x\cdot5^2)-13\cdot5^x=(2^x\cdot2^5)-(2^x\cdot2^1)$

Factorizando, obtenemos

$5^x(5^2-13)=2^x(2^5-2^1)$

$5^x(25-13)=2^x(32-2)$

$5^x(12)=2^x(30)$

$\frac{5^x}{2^x}=\frac{30}{12}$

$(\frac{5}{2})^x=\frac{5}{2}$

Ahora está claro que la solución a este problema es $x=1$ . Espero que eso ayude.