¿Hay sistemas o anillos de números en los que no todos los números son producto de los primos?

Question

Estoy leyendo algunos libros de teoría de números y álgebra abstracta, y en los libros de teoría de números todos ellos prueban el teorema que establece que cada entero es un producto de primos (irreducibles). En particular, en Hardy y Wright, prueban que cada elemento en $ \mathbb {Z}[i]$ y $ \mathbb {Z}[ \rho ]$ donde $ \rho :=e^{ \frac {2}{3} \pi i}$ es un producto de los primos, donde definen a los primos como elementos que sólo son divisibles por sí mismos y las unidades de su anillo. Lo demuestran de una manera que utiliza la función de la norma ( $N(a+bi)=a^2+b^2$ ), y creo que la prueba puede ser fácilmente adaptada para incluir cualquier dominio euclidiano.

Esta propiedad (la capacidad de que cada elemento se escriba como un producto de primos, no necesariamente único) me parece tan inherente, que me pregunto: ¿hay algún sistema de números o anillos en los que no todos los elementos puedan escribirse como un producto de primos?

Aclaración: Sólo hablo de las no unidades de un anillo (que no son 0). Las unidades no son consideradas como primarias. $ \mathbb {Q}$ satisface esta propiedad porque no hay no-unidades (excepto 0).

Aclaración 2: La respuesta dada por Barry Smith fue estupenda en el sentido de que dio un ejemplo de un anillo que no era un campo pero que no contenía primos por lo que tenía elementos no unitarios que no eran productos de primos, pero en realidad estaba buscando un anillo que contuviera primos/irreducibles y que también contuviera elementos que no pudieran expresarse como producto de primos/irreducibles. Mi intuición afirma que esto no existe directamente de la definición de primos/irreducibles. La razón por la que cuestiono mi intuición es porque mi libro de teoría de números explota la función de la norma, que es una función que no todos los anillos contienen.

Answer 1

Sí, el anillo de todos los números enteros algebraicos tiene esta propiedad. Considerado como una subrutina de los números complejos, es el conjunto de todos los ceros de los polinomios monos con coeficientes enteros. Es bien sabido que este conjunto forma una subrúbrica de los números complejos.

Siendo una subrutina de los números complejos, es un dominio integral. Por lo tanto, cada elemento primo es irreducible. Si un elemento de este anillo es un producto de primos, entonces es un producto de irreducibles. Por lo tanto, basta con mostrar que el anillo de todos los enteros algebraicos no contiene elementos irreducibles.

Dado que el anillo de todos los enteros algebraicos no es un campo, podemos elegir un no cero entero algebraico no unitario $x$ . Luego $x = \sqrt {x} \cdot \sqrt {x}$ es una factorización en números enteros algebraicos no unitarios.

Este anillo tiene, sin embargo, ideales primarios. Mira aquí:

Los ideales principales en el anillo de números enteros algebraicos

Edición: El anillo de números enteros algebraicos en el campo $k = \mathbb {Q}( \sqrt {2}, \sqrt [4]{2}, \sqrt [8]{2}, \ldots )$ es un ejemplo en el que existen elementos irreductibles (por ejemplo, el entero racional 5) pero en el que no todos los elementos contribuyen a un producto finito de elementos irreductibles (por ejemplo, el entero racional 2 no lo hace).

Para ver que $2$ no factoriza como un producto finito de irreductibles, note que si lo hiciera, entonces existiría $n$ de tal manera que todos estos irreductibles están contenidos en $ \mathbb {Q}( \sqrt [n]{2})$ . Pero en este campo, tenemos la factorización ideal $(2) = \left ( \sqrt [n]{2} \right )^n$ . De ello se deduce que un factor irreducible de $2$ sólo podía ser un asociado de $ \sqrt [n]{2}$ pero no son irreducibles en $k$ .

Para ver que $5$ es un elemento primordial de $k$ que si la propiedad principal fallara, los elementos involucrados existirían en algún lugar común $ \mathbb {Q}( \sqrt [n]{2})$ así que $5$ no sería primo en este campo de números. Basta, entonces, con mostrar que el ideal principal $(5)$ es un ideal primordial en el campo de los números $F = \mathbb {Q}( \sqrt [n]{2})$ .

El profesor Lubin da una corta y elegante prueba de este hecho en su respuesta a este mismo post.

Alternativamente, aquí está mi complicado argumento original. Considere el campo más grande $L = F( \zeta_ {2^n})$ obtenido por la contigüidad de la $2^n$ Las raíces de la unidad, que contiene el subcampo $K= \mathbb {Q} ( \zeta_ {2^n})$ . Luego $K/ \mathbb {Q}$ es una extensión ciclotómica, mientras que $L/K$ es una extensión de Kummer. Los siguientes hechos son bien conocidos:

1. El grado de inercia de un primo racional en $K/ \mathbb {Q}$ es igual al orden del primo en el grupo de unidades de $ \mathbb {Z}_{2^n}$ .
2. El número 5 genera un subgrupo de este grupo de unidades de índice $2$ también lo ha hecho el orden $2^{n-2}$ en el grupo.

En $K$ entonces, $5$ se divide primero como $(1+2i)(1-2i)$ en $ \mathbb {Q}(i)$ y luego permanece inerte el resto del camino hacia arriba. Si mostramos que $5$ sigue siendo inerte en $L/K$ Entonces $5$ tendrá que ser inerte en $F/ \mathbb {Q}$ desde $F$ no contiene $ \mathbb {Q}(i)$ .

Para ver que los dos ideales principales que se dividen $5$ son inertes en la extensión $L/K$ observamos que $L/K$ es una torre de extensiones cuadráticas con un diagrama totalmente ordenado de campos intermedios. De ello se deduce que si un primo es inerte en la extensión cuadrática más baja $K( \sqrt [4]{2})$ entonces permanece inerte a lo largo de la extensión $L/K$ . Use algún método para comprobar que $5$ es inerte en la extensión $ \mathbb {Q}( \sqrt [4]{2}, \zeta_ {16})/ \mathbb {Q}(i)$ . De ello se desprende que en las tres extensiones cuadráticas de $ \mathbb {Q}(i)$ contenida dentro de $K( \sqrt [4]{2})$ los primos que dividen $5$ no se separan. El grupo de descomposición de $5$ para la extensión $K( \sqrt [4]{2})/ \mathbb {Q}(i)$ debe ser todo el grupo de Galois, así que los primos que se dividen $5$ son de hecho inertes en $K( \sqrt [4]{2})/K$ como se afirma.

Answer 2

Un ejemplo bien conocido de un anillo en el que hay irreductibles, pero en el que no todos los elementos son producto de irreductibles, es el anillo de funciones completas . Las funciones enteras (multiplicadoras) invertibles son las que no tienen ceros, como las funciones complejas exponenciales (o funciones constantes no nulas, por supuesto). Si una función entera tiene un cero en $a \in\Bbb C$ entonces es divisible por $X-a$ . De ello se deduce que hasta los factores invertibles todas las funciones $X-a$ son precisamente el conjunto de elementos irreductibles. Entonces las únicas funciones enteras que se descomponen en irreductibles son las funciones polinómicas (hasta un factor invertible), lo que por supuesto dista mucho de cubrir todas las funciones enteras (piense en $ \sin $ el inverso de la $ \Gamma $ función,...).

Answer 3

Esta respuesta sólo se refiere al hecho de que $5$ sigue siendo primordial en cada extensión $ \Bbb Q(2^{1/2^n})$ . Dudé un poco en dar una prueba tan cercana a la de Barry, pero como es cada vez más elemental, decidí seguir adelante.

Mi argumento depende sólo del hecho de que si $p$ es una primicia en $ \Bbb Z$ y $K$ es una extensión de $ \Bbb Q$ de grado $n$ en cuyo anillo de números enteros los primos de arriba $p$ son $ \mathfrak p_1, \cdots , \mathfrak p_m$ cada uno $ \mathfrak p_i$ con su índice de ramificación $e_i$ y el grado de extensión del campo de residuos $f_i$ Entonces $$ n= \sum_ {i=1}^me_if_i\>\>. $$ Mostraré eso para $p=5$ adyacente a la $2^n$ -la raíz de $2$ debe exigir que el campo de residuos sea $ \Bbb F_{5^{2^n}}$ es decir, una extensión del campo primario $ \Bbb F_5$ de grado $2^n$ . Ya que ese es el grado del campo $K_n$ de $2^n$ -a las raíces de $2$ debemos tener $m=1$ y además el índice de ramificación único $e$ debe ser $1$ . Como resultado del último hecho, $ \mathfrak p$ es generado por $5$ para que $5$ sigue siendo la primera en $K_n$ .

Ahora para mi afirmación de que el campo de residuos tiene $5^{2^n}$ elementos cuando se une a un $2^n$ -la raíz de $2$ a $ \Bbb F_5$ . En el campo principal, $2$ es una cuarta raíz primitiva de la unidad, de modo que para unirla a su $2^n$ -la raíz, estás junto a una primitiva $2^{n+2}$ -la raíz de la unidad. Para los campos finitos $k= \Bbb F_{5^N}$ de la característica $5$ los siguientes son equivalentes: $$ 2^{n+2} \big ||k^*| \Leftrightarrow |k| \equiv1\pmod {2^{n+2}} \Leftrightarrow 5^N \equiv1\pmod {2^{n+2}}\,. $$ Pero usted muestra fácilmente que para cualquier número entero $a$ y cualquier $r \ge2 $ si $a=1+2^nu$ con $u$ impar, entonces $a^2=1+2^{n+1}u'$ con $u'$ impar también. En particular $5^{2^M}=1+2^{M+2}u$ para un número de impar $u$ . Por lo tanto, para conseguir que el primitivo $2^{n+2}$ -las raíces de la unidad en un campo finito de características $5$ necesitas exactamente una extensión del campo principal de grado $2^n$ como dije.