¿Por qué incluimos los barrios eliminados al definir los límites?

Question

Muy a menudo, definimos el límite de una función como $0 < |x -a|< \delta \implies |f(x) - L|< \epsilon$ .

Muchas veces no dejamos $x \neq a$ para el caso de la discontinuidad, está claro. Sin embargo el libro que estoy leyendo tampoco permite $x \neq a$ para funciones continuas.

Answer 1

La función puede ser indefinida en $x=a$ . Por ejemplo, tome $a=0$ y que $f(x)=(\sin x)/x\;(x\in \Bbb R;x\neq 0).$ Entonces el límite está bien definido en $0$ aunque $f$ no lo es. (Por supuesto, en este caso, podemos ampliar fácilmente y de forma natural el dominio de $f$ utilizando el límite).

Answer 2

Aunque estoy de acuerdo en que podría dejar $x=a$ en algunos casos, prohibirlo refuerza la idea de que un límite es una propiedad que se mantiene cerca de un punto, y se define en estos términos: es decir, un límite $L$ existe si es el único número (real o complejo según el contexto) que está arbitrariamente cerca de $f(x)$ siempre que $x$ es arbitrariamente cerrar a $a$ pero no iguales. Nosotros definir el número $L$ sea el límite si tiene precisamente esta propiedad. Borrado de $a$ no cambia el límite si existe.