$\newcommand{\Ind}{{\text{Ind}}}$ $\newcommand{\Res}{{\text{Res}}}$ $\newcommand{\ds}{{\displaystyle}}$ $\newcommand{\inv}{{^{-1}}}$
Estoy haciendo el ejercicio 3.16 de Fulton Harris. http://bit.ly/JeTz1J
Ya he leído http://bit.ly/HYm9Fx pero es una respuesta demasiado avanzada.
Objetivos: a) $U \otimes \Ind(W) =\Ind (\Res (U) \otimes W) $ y b) $\Ind^G_H(W) =\Ind^G_K (\Ind^K_H(W))$ donde $H<K<G$
Mis intentos:
a) $U \otimes \Ind W = U \otimes \ds\bigoplus_{\sigma \in G/H} \sigma W = \ds\bigoplus_{\sigma \in G/H} U \otimes \sigma W = \ds\bigoplus_{\sigma \in G/H} \sigma( \sigma\inv U \otimes W)$ . Ahora $\Ind (\Res (U) \otimes W) = \ds\bigoplus_{\sigma \in G/H} \sigma (\Res U \otimes W) = \ds\bigoplus_{\sigma \in G/H} \sigma \Res U \otimes \sigma W$ .
En particular, si deja que $W$ sea la representación trivial, entonces $\Res U$ puede expresarse como $\Res( U) \otimes W$ y por lo tanto $\Ind(\Res (U))= \Ind(\Res (U) \otimes W) = U \otimes \Ind W= U \otimes P$ Utilizando el ejemplo 3.13.
b) Por definición podemos ampliar $\Ind^G_H(W) = \bigoplus _{\sigma \in G/H} \sigma W$ y
$\Ind^G_K (\Ind^K_H(W)) = \Ind^G_K (\bigoplus _{\tau \in K/H} \tau W) =\bigoplus _{\gamma\in G/K} \gamma (\bigoplus _{\tau \in K/H} \tau W) = \bigoplus _{\gamma\in G/K} \bigoplus _{\tau\in K/H} \gamma \tau W$ .
