Dejemos que $X$ sea un segundo espacio Hausdorff contable y localmente compacto, y que $C_0(X)$ sea el $C^*$ álgebra de funciones continuas que desaparecen en el infinito.
Definición: $C_0(X)$ se llama cuasi diagonal, si $C_0(X)$ admite una *representación fiel $\pi:C_0(X)\to B(H)$ y una secuencia creciente $(p_n)_n$ de rango finito de proyecciones sobre $H$ que converge fuertemente a $id_H$ y tal que $$\lim\limits_{n\to\infty}\|p_n\pi(a)-\pi(a)p_n\|=0.$$
La tarea consiste en demostrar que para $C_0(X)$ .
Considere $\pi=\bigoplus\limits_{x\in D}ev_x:C_0(X)\to \bigoplus\limits_{x\in D}\mathbb{C}$ dado por $\pi(f)=\sum\limits_{x\in D}f(x)$ , ( $ev_x$ denota la evaluación en $x$ ) donde $D$ es un subconjunto denso contable de $X$ .
El siguiente paso es construir una secuencia de proyecciones de rango finito $(p_n)\subset \pi(C_0(X))$ con las siguientes propiedades:
(i) $p_n\le p_{n+1}$ para todos $n$ (ii) $\|ap_n-p_na\|\xrightarrow{n\to\infty}0$ para todos $a\in \pi(C_0(X))$ y (iii) $\|p_n(x)-x\|\xrightarrow{n\to\infty}0$ para todos $x\in \bigoplus\limits_{x\in D}\mathbb{C}$ .
Mi plan es construir la secuencia de la siguiente manera: elegir $p_1$ como la proyección sobre $\bigoplus\limits_{x\in D}\mathbb{C}$ en la primera coordenada de $\bigoplus\limits_{x\in D}\mathbb{C}$ , $p_2$ como la proyección sobre $\bigoplus\limits_{x\in D}\mathbb{C}$ en las dos primeras coordenadas de $\bigoplus\limits_{x\in D}\mathbb{C}$ y así sucesivamente. Para comprobar que $(p_n)\subset \pi(C_0(X))$ probablemente funcione con el lema de Urysohn.
Pregunta: ¿Esta construcción de $(p_n)$ trabajo, o es que no me he dado cuenta de algo? Si está mal, ¿qué secuencia es la correcta? O, ¿cómo lo harías tú?
