Existencia de polinomios en $\mathbb{Q}[x]$ y $\mathbb{Z}[x]$ con los mismos campos de división.

Question

Me han pedido que demuestre el siguiente enunciado en un seminario de Teoría de Galois después de haberme presentado el Teorema de Dedekind. (Supongo que esto podría ayudar a obtener la respuesta).

Dejemos que $f(x)$ sea un polinomio mónico de grado $N$ en $\mathbb{Q}[x]$ y que $E_f$ sea su campo de división sobre $\mathbb{Q}$ . Entonces, existe un polinomio mónico $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ de grado $N$ que tiene el mismo campo de división $E_f$ .

No puedo encontrar ninguna forma de probarlo.

¡Cualquier ayuda es bienvenida!

EDITAR: Antes había lo que yo creía que era un contraejemplo que ya ha sido contestado.

Answer 1

Dejemos que $x^n + a_1 x^{n_1}+ \cdots + a_n=0$ y escribir $y=Nx$ Entonces $y^n + a_1 N y^{n_1}+ \cdots + a_n N^n =0$ . Escriba $a_j=p_j/q_j$ y $N=\prod_j q_j$ y ya está. Esto es básicamente el lema de Gauss, ¿no?