Campo de división para un polinomio irreducible que no es separable

Question

Obsérvese que algún campo infinito de de carácter finito, como ${\bf Z}_2(t)$ tiene un polinomio irreducible $f(x)$ que no es separable. Por ejemplo $f(x)=x^2-t$ . Aquí tengo una pregunta

Pregunta : En un campo infinito $F$ de característica finita característica, campo de división $K$ para un polinomio irreducible que no es separable es isomorfo a $F$ ?

¿Esto está mal? o bien?

En el ejemplo anterior, el campo de división es ${\bf Z}_2(\sqrt{t})$ que es isomorfo a ${\bf Z}_2(t)$ .

Y la división del campo $K$ para $x^3-t$ en $F={\bf Z}_3(t)$ tiene $$ x^3-t=(x-\sqrt[3]{t})(x+2\sqrt[3]{t})^2 $$ Así que $K={\bf Z}_3(\sqrt[3]{t})$ que es isomorfo a $ F$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que lo siguiente es un contraejemplo. Sea $F=\mathbf{Z}_2(t)$ como antes. Consideremos el polinomio $f(x)=x^4+x^2+t^3\in F[x]$ . Si $z$ es uno de sus ceros, entonces $y=z^2$ es un cero del polinomio irreducible separable $g(x)=x^2+x+t^3$ . El otro cero de $g(x)$ se ve fácilmente que es $y+1$ Así que $F[y]$ es el campo de división de $g(x)$ y $F[y]/F$ es una extensión de Galois.

Así que $z$ y $z+1$ son los ceros de $f(x)$ - ambos de multiplicidad dos. El campo de división de $f$ es por lo tanto $F[z]$ . Esto no es isomorfo a $F$ . Probablemente haya varias formas de ver esto. La primera que se me ocurre es probablemente innecesariamente avanzada. A saber, vemos que $F[z]$ tiene $F[y]$ como subcampo. Y podemos identificar $F[y]$ como el campo de funciones de la curva elíptica $y^2+y=t^3$ que tiene el género $1$ y por lo tanto no puede ser isomorfa a una función racional como $F$ . Por otro lado, si $F[z]$ eran isomórficos a $F$ entonces por el teorema de Lüroth su subcampo $F[y]$ también sería un campo de funciones de género cero.