Sobre un isomorfismo de un grupo de orden 6

Question

Estuve jugando un poco con SAGE para estudiar los grupos transitivos y regulares, para dirigirme a los grupos de Mathieu. De hecho, he generado un grupo de permutación así:

$$ G = \lt(1,2,3)(5,6)\gt $$

Resulta ser un grupo de permutación de 6 órdenes, es decir

$$ G = \{e, (5,6), (1,2,3), (1,3,2), (5,6)(1,2,3), (5,6)(1,3,2)\} $$

Este grupo es manifiestamente intransitivo (y por tanto no regular), ya que muestra 3 órbitas:

$$ O = \{\{1, 2, 3\}, 4, \{5,6\}\} $$

Hasta ahora, todo va bien. Pero se me ocurrió preguntarme a qué grupo es isomorfo G. En realidad, a partir de la clasificación de los grupos cuyo orden es un producto de dos primos, sé que los grupos de 6 órdenes caen en 2 clases de isomorfismo distintas:

1) Grupo cíclico $C6$

2) Grupo simétrico $S3$ (o equivalentemente grupo diédrico $D6$ )

Sin embargo, inspeccionando visualmente los elementos de G, podemos ver inmediatamente que sólo hay una inversión, es decir, (5, 6), mientras que $S3$ tiene dos de ellos, por supuesto.

Para confirmarlo, he intentado consultar a SAGE en busca de isomorfismos y me ha indicado correctamente que no es el caso.

Entonces, y sé que esto puede parecer una pregunta un poco tonta:

¿Qué es este Grupo G de 6 órdenes en términos de isomorfismo? Es seguramente un subgrupo de $S6$ , pero me interesa más ver en qué se equivoca mi razonamiento al tratar de encontrar un isomorfismo que evidentemente no encuentro.

Gracias por su apoyo, como siempre.

Answer 1

Su grupo contiene un elemento de orden $6$ , a saber $(5 \; 6)(1\; 2 \; 3)$ . Eso ya demuestra que es un grupo cíclico de orden $6$ es decir $G \cong C_6$ Para encontrar un isomorfismo a algún otro grupo cíclico $H$ de orden $6$ , sólo hay que enviar el generador de $G$ a un generador de $H$ .

Si se tratara de definir un isomorfismo a $S_3$ siempre fallarías porque los isomorfismos preservan los órdenes. Por lo tanto, como te diste cuenta, el problema sería que $G$ sólo contiene un elemento de orden $2$ .