Límite de una implicación secuencial

Question

Sea $(a_n)_{n\in N}$ una secuencia en $ R $ y $a\in R$ . Demostrar que $\lim_{n\to \infty}a_n=a ~\Rightarrow ~\lim_{n\to \infty} \left(\frac1n \sum_{k=1}^n a_k\right) = a$

Answer 1

Porque $a_n\to a$ hay un $M>0:|a_n|\leq M$ por cada $n\geq 1$ . Para hacerlo más sencillo supongamos que $a=0$ (porque si ponemos $b_n=a_n-a$ tenemos que $b_n\to 0$ y por lo tanto es suficiente para mostrar que $\frac {b_1+b_2+...+b_n}{n}\to 0 $ si $b_n\to 0$ ).

Dejemos que $ε>0$ .porque $\frac {M}{\sqrt n}\to 0$ hay un $n_o\in \Bbb N:|a_n|<ε/2$ y $\frac {M}{\sqrt n}<ε/2$ para $n\geq n_0$ . Así que para $n\geq n_0^2$ tenemos $|\frac {a_1+a_2+...+a_n}{n}|\leq \frac {a_1+a_2+...+a_{\sqrt n}}{n}|+|\frac {a_{\sqrt {n+1}}+...+a_n}{n}|\leq \frac {M[\sqrt n]}{n}+\frac {nε}{2}\frac {1}{n}\leq \frac {M}{\sqrt n}+\frac {ε}{2}\leq \frac {ε}{2}+\frac {ε}{2}=ε$ y por lo tanto $\frac {a_1+a_2+...+a_n}{n}\to a$ para $n\to \infty$