Si $a + 1/b = b + 1/c = c + 1/a$, ¿cómo encontrar el valor de $abc$?

Question

Si $a, b, c$ ser distinto de reales tales que $$a + \frac1b = b + \frac1c = c + \frac1a ,$$ how do I find the value of $abc$?

La respuesta dice $1$, pero no estoy seguro de cómo obtenerlo.

Answer 1

El hecho de que las Expresiones de $1$ $2$ son iguales, obtenemos $$a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=\frac{b-c}{bc}.$$ El hecho de que las Expresiones de $2$ $3$ son iguales, obtenemos $$b-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=\frac{c-a}{ca}.$$ El hecho de que las Expresiones de $3$ $1$ son iguales, obtenemos $$c-a=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}.$$

Multiplicar el hemisferio izquierdo, la mano derecha de los lados. Tenemos $$(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(abc)^2}.$$ Desde $a$, $b$, y $c$ son distintos, $(a-b)(b-c)(c-a)\ne 0$. Llegamos a la conclusión de que $(abc)^2=1$. Este rendimientos de las dos posibilidades $abc=1$$abc=-1$.

En un sentido lógico hemos terminado: Hemos demostrado que si $(a,b,c)$ es una solución del sistema con $a$, $b$, y $c$ distintos, a continuación, $abc=\pm 1$.

Pero sería bueno para mostrar que no son soluciones del tipo deseado. Así que vamos a encontrar una solución, con $abc=1$.

Buscar una solución con $a=1$. Entonces necesitamos $c=1/b$. Con el fin de satisfacer nuestras ecuaciones, tenemos $1+1/b=2b$. Junto a la inútil de la solución de $b=1$, este tiene la solución $b=-1/2$. Llegamos a la conclusión de que $$a=1,\quad b=-\frac{1}{2},\quad c=-2$$ es una solución del tipo deseado, con $abc=1$. Cambiando todos los signos, nos encontramos con que $$a=-1,\quad b=\frac{1}{2},\quad c=2$$ es una solución con $abc=-1$.

Agregado: es fácil ver que si dos 0f $a$, $b$, $c$ son iguales, todos son iguales, dando la paramétrico de la familia $(t,t,t)$ donde $t\ne 0$. Supongamos ahora que $abc=\pm 1$. Podemos encontrar todas las soluciones con $abc=1$. Las soluciones con $abc=-1$ se obtiene cambiando todos los signos.

Deje $a=t$. Nuestras ecuaciones estará satisfecho si $t+1/b=b+1/c$ donde $c=1/bt$. Por lo tanto, obtener la ecuación de $t+1/b=b+bt$, que se simplifica a $(1+t)b^2 -tb-1=0$. Ahora podemos resolver esta ecuación cuadrática para $b$ y $c$$tbc=1$. Hay, sin duda, una más simétrica forma de obtener la completa paramétrico de la descripción de las soluciones!

Answer 2

Dar el valor común de $a+1/b$ etc. un nombre, decir $h$. Ahora podemos reescribir $a+1/b=h$ $a=h-1/b$y de manera similar a $b=h-1/c$$c=h-1/a$. Telescópica de estas expresiones en el otro da $$a=\frac{h^2-ah-1}{h^3-ah^2-2h+a}$$ que reorganiza a $$(1-h^2)a^2 + (h^3-h)a + 1-h^2 = 0$$ Ahora ya todo es simétrica, $b$ $c$ debe satisfacer la misma ecuación, pero $a$, $b$ y $c$ eran distintos números, por lo que sólo pueden ser raíces de un polinomio cuadrático si es idéntica a cero. Por lo $h^2=1$, lo que hace que todos los coeficientes de desaparecer. Por lo tanto $h=\pm 1$.

Suponiendo que $h=1$ conseguir $b=\frac{1}{1-a}$$c=1-\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a}$, por lo tanto $abc=-1$. Un ejemplo es $(a,b,c)=(2,-1,1/2)$.

La negación de todo en la $h=1$ de los casos da $h=-1$$abc=1$.

Answer 3

Deje $A = abc$. Podemos suponer $A \ne 0$.

Ahora las ecuaciones se pueden escribir como

$a + ac/A = b + ab/A = c + bc/A$

Multiplicar por $A$ a lo largo.

$a(A+c) = b(A+a) = c(A+b)$

Restar dos primeros, los últimos dos, la primera y la última para obtener tres ecuaciones y multiplicar aquellos para obtener una ecuación en la $A$.

Answer 4

A continuación se destacan explícitamente la simetría implícita en las respuestas de Aryabhata y Andre. Deje $\rm\:\sigma\:$ ser la permutación $\rm\:(a\ b\ c)\:$ que actúa sobre polinomios en $\rm\:a,b,c\:$ por cíclicamente permuting las variables, es decir, $\rm\:\sigma\ f(a,b,c)\: =\: f(b,c,a)\:,\ $ por ejemplo $\rm\ \sigma(a-b) = b-c\:.\:$ se Define en la norma por $\rm\:N(g)\ =\ g\ \sigma g\ \sigma^2 g\:.\:$ tenga en cuenta que $\rm\:N(\sigma\: g)\: =\: N(g)\:$ desde $\rm\:\sigma^3 = 1\:.\:$ Puesto $\rm\:f\: =\: abc\: =\: N(a)\:,\:$ $\rm\:\sigma\: f\: =\: f\:.\:$ Puesto $\rm\:g\: =\: a-b\:.\:$ Restando cada par de tres ecuaciones da como resultado las siguientes ecuaciones

$$\begin{eqnarray*} \rm f\ &=&\rm\ a\ \dfrac{b-c}{a-b}\ &=&\rm\ \ \ a\ \ \ \dfrac{\sigma\: g}{g} \\ \rm f\ &=&\rm\ b\ \dfrac{c-a}{b-c}\ &=&\rm\ \:\sigma\ a\ \ \dfrac{\sigma^2 g}{\sigma\: g} \\ \rm f\ &=&\rm\ c\ \dfrac{a-b}{c-a}\ &=&\rm\ \sigma^2 a\ \dfrac{\sigma^3\:g}{\sigma^2g} \end{eqnarray*}$$

Multiplicando el anterior, el uso de $\rm\:\sigma^3\:g = g\:,\:$ rendimientos $\rm\:f^{\:3} = N(a) = f\:,\:$, por lo que $\rm\:f \ne 0\:$ $\:\Rightarrow\:$ $\rm\:f^{\:2} = 1\:.\:$ Eso es en esencia el método empleado en dichas respuestas. Me muestran que este método equivale a simplemente tomar la norma de la primera ecuación. Observe que la segunda y tercera ecuaciones resultado de la sucesiva aplicación de $\rm\:\sigma\:$ a la primera ecuación, es decir, las tres ecuaciones son equivalentes a decir que la primera ecuación se conserva por $\rm\:\sigma\:$$\rm\:\sigma^2\:$. Así que la multiplicación de todos ellos asciende a tomar la norma de la primera, es decir,

$$\rm f^{\:3}\ =\ N(f)\ =\ N\bigg(a\:\dfrac{\sigma g}{g}\bigg)\ =\ N(a)\ =\ f\ \quad by\ \quad N(\sigma g)\ =\ N(g) $$

Así, desde este punto de vista, la prueba de que $\rm\:f^{\:3} = f\:$ es una línea de inferencia logra mediante tomando una norma ($\rm\:f/a = \sigma\:g/g\:$norma $1$ es esencialmente multiplicativo telescopy). Esta simplicidad por encima de los resultados a partir del reconocimiento y la explotación de la innata de simetría en el problema.

Menos trivial explotación de similar simetrías surgir en la teoría de Galois de ecuaciones de diferencia y radical (extensiones de Kummer teoría). Para un ejemplo sencillo de ver esta respuesta.

Answer 5

No estoy seguro de cuán diferente es esto, pero aquí está mi versión

$a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a} \quad$ (Note this implies $abc \ne 0$)

$a^2bc + ac = ab^2c + ab = abc^2 + bc$

$a(abc) + ac = b(abc) + ab = c(abc) + bc$

$\quad a(abc) + ac = b(abc) + ab \implies (a-b)abc=a(b-c)$
$$ a=b=c \ne 0 \; \text{ or } \; abc = \dfrac{a(b-c)}{a-b}$$

$\quad a(abc) + ac = c(abc) + bc \implies (a-c)abc = c(b-a)$ $$a=c=b \ne 0 \; \text{ or } \; abc = \dfrac{c(b-a)}{a-c}$$

$\quad b(abc) + ab = c(abc) + bc \implies (b-c)abc=b(c-a)$ $$b=c=a \ne 0 \; \text{ or } \; abc = \dfrac{b(c-a)}{b-c}$$

Entonces, una solución es $\; a=b=c \ne 0$.
Pero si $a,b,$ $c$ son independientes y distintos de cero, entonces

$(abc)^3 = \dfrac{a(b-c)}{a-b} \cdot \dfrac{c(b-a)}{c} \cdot \dfrac{b(c-a)}{b, c}$

$(abc)^3 = abc$

$(abc)^2 = 1$

$abc = \pm 1$

$|abc| = 1$