Si el gráfico de $f(x) \cdot f'(x)$ se da, responda a lo siguiente

Question

Si $f(x)$ es una función continua y diferenciable. Dado que $f(x)$ toma valores del tipo $\pm \sqrt{W}$ para $x=a$ y $x=b$ (donde $W$ denota el conjunto de números enteros). Para todos los demás $x$ , $f(x)$ puede tomar cualquier valor real. También $f(c)=-\frac{3}{2}$ y $|f(a)| \leq |f(b)|$ y el gráfico de $f(x) \cdot f'(x)$ se indica a continuación:

Responde a las siguientes preguntas:

Pregunta: Encontrar el número de valores racionales $f(a)+f(b)+f(c)$ puede tomar?

Pregunta: Encontrar el número de valores $(f(a))^2+(f(b))^2+(f(c))^2$ ¿puede tomar?

De los datos aportados se desprende que $f'(c)=0$ . Pensé en tomar $g(x)=(f(x))^2/2$ Por lo tanto, a partir del gráfico dado, $g(x)$ aumenta de $x=a$ a $x=c$ y luego disminuye También $g(c)=9/8$ pero no soy capaz de proceder desde aquí. ¿Podría alguien ayudarme en esto?

Answer 1

Para ello es necesario llevar un poco de contabilidad. Tenemos $f(c)=-\frac{3}{2}$ y, por el gráfico, $f'(c)=0$ . Desde $f$ es continua, $f(x)<0$ para $a<x<b$ Así que desde el gráfico de nuevo $$f'(x)<0\text{ for }a<x<c,\\ f'(x)>0\text{ for }c<x<b.$$ Así, tenemos $$-\frac{3}{2}<f(x)\leq 0\text{ for } a\leq x<c, \\ -\frac{3}{2}<f(x)\leq 0\text{ for } c< x\leq b, \\$$

Así que creo que en $a$ y $b$ , $f(x)$ sólo puede ser $0,-1$ o $-\sqrt{2}\ (=-1.41...>-\frac{3}{2})$ . Usando esto, y el hecho dado $|f(a)|\leq |f(b)|$ debería ser capaz de contar los diferentes valores posibles de $f(a)+f(c)+f(b)$ y $[f(a)]^2+[f(c)]^2+[f(b)]^2$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?