Si $\alpha\in (0,1]$ y $x_n=\alpha x_{n-1}+(1-\alpha)x_{n-2}$ , demuestran que la secuencia $\{x_n\}$ es convergente.

Question

Si $x_1$ , $x_2$ son números reales arbitrarios, $\alpha\in (0,1]$ y $x_n=\alpha x_{n-1}+(1-\alpha)x_{n-2}$ para cada número entero positivo $n$ (>2), demuestre que la secuencia $\{x_n\}$ es convergente. (Dado $x_1<x_2$ )

No puedo reorganizar para probar la convergencia. Por favor, ayúdame a resolver el problema.

Editar

Quiero demostrar mediante el uso de la propiedad de abajo:

Si $\{x_{2n}\}$ y $\{x_{2n-1}\}$ converge al mismo límite $l$ entonces $\{x_{n}\}$ converge a $l$ .

Answer 1

Tenga en cuenta que $x_{n+2}\in[x_n,x_{n+1}]$ (o $[x_{n+1},x_n]$ ). Obsérvese también que la longitud de este intervalo es $$\ell_n=|x_{n+1}-x_n|=|\alpha x_n+(1-\alpha)x_{n-1}-x_n|=(1-\alpha)\ell_{n-1}$$

Desde $\ell_n\to 0$ , aplique intervalos anidados.

Answer 2

Tenemos $x_n-x_{n-1}=(\alpha-1)(x_{n-1}-x_{n-2})$ por lo que tenemos $x_n-x_{n-1}=(\alpha-1)^{n-2}(x_2-x_1)$ y por lo tanto $$\begin{aligned}x_n-x_{n-1}&=(\alpha-1)^{n-2}(x_2-x_1)\\\\x_{n-1}-x_{n-2}&=(\alpha-1)^{n-3}(x_2-x_1)\\&\vdots\\x_2-x_1&=(\alpha-1)^0(x_2-x_1)\end{aligned}$$ y sumando estos obtenemos $x_n-x_1=(x_2-x_1)\frac{1-(\alpha-1)^{n-1}}{2-\alpha}$ lo que implica que $$\color{red}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{x_2+(1-\alpha)x_1}{2-\alpha}}.$$

Answer 3

$$x_n-x_{n-1}=(-1)(1-\alpha)({x_{n-1}-x_{n-2})}\\=(-1)^2(1-\alpha)^2(x_{n-2}-x_{n-1})\\=\vdots\\=(-1)^n(1-\alpha)^n(x_1-x_0)$$

Ahora puedes completar