$\newcommand{\Dmd}{\diamond}\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$Tal vez tú ya lo sabes, pero $(\Reals, +)$ es isomorfo a $\bigl((-1, 1), \Dmd\bigr)$ través $\tanh$, es decir,
$$
\tanh(\alpha + \beta)
= \frac{\tanh \alpha + \tanh \beta}{1 + \tanh \alpha \tanh \beta}
= (\tanh \alpha) \Dmd (\tanh \beta);
$$
de hecho, esta ecuación es esencialmente la adición de la ley para la velocidad, expresada como múltiplo de $c$, en especial de la relatividad. Además,
$$
a = \tanh \alpha\quad \text{si y sólo si}\quad
e^{-2\alpha} = \frac{1}{1 + a}
\quad \text{si y sólo si}\quad
\alpha = \frac{1}{2} \log \frac{1 + a}{1},
$$
lo que parece estar relacionado con su observación de que $\Dmd$ es conjugado a la multiplicación.
Añadido: La Escritura
$$
a = \tanh \alpha = \frac{\sinh\alpha}{\cosh\alpha}
\quad\text{y}\quad
b = \tanh \beta = \frac{\sinh\beta}{\cosh\beta},
$$
la identidad (1) se convierte en
\begin{align*}
\frac{1}{a} \Dmd b
&= \coth\alpha \Dmd \tanh\beta \\
&= \frac{\coth\alpha + \tanh\beta}{1 + \coth\alpha \tanh\beta} \\
&= \frac{\dfrac{\cosh\alpha}{\sinh\alpha} + \dfrac{\sinh\beta}{\cosh\beta}}
{1 + \dfrac{\cosh\alpha}{\sinh\alpha} \dfrac{\sinh\beta}{\cosh\beta}} \\
&= \frac{\cosh\alpha \cosh\beta + \sinh\alpha \sinh\beta}
{\sinh\alpha \cosh\beta + \cosh\alpha \sinh\beta} \\
&= \frac{\cosh (\alpha + \beta)}{\sinh (\alpha + \beta)} \\
&= \frac{1}{a \Dmd b},
\end{align*}
y del mismo modo (o por conmutatividad) por $a \Dmd (1/b)$. Mis primeros pensamientos fueron que $\Dmd$ seguramente ha sido observado en el pasado (como Bill Dubuque los enlaces parecen ajustarse), y tal vez el anterior cálculo se coloca el hecho bajo el paraguas de "identidades hiperbólicas". :)
Yo no soy un historiador de la matemática, por cualquier medio, pero en términos de citables referencias (1) no parece demasiado lejano de una identidad básica, tales como la factorización de una diferencia de cuadrados, en la que (en riesgo de afirmar lo obvio)
$$
\frac{1}{a} \Dmd b
= \frac{(1/a) + b}{1 + (b/a)}
= \frac{1 + ab}{a + b}
= \frac{1}{un \Dmd b}.
$$
El hecho de que $\infty \Dmd b = 1/b$ para todos (finito) $b$ puede ser interpretado como una consecuencia de
$$
un \Dmd b = \frac{a + b}{1 + ab} = \frac{1 + (b/a)}{(1/a) + b}
$$
junto con una ordinaria límite de $a \to \infty$. :)
Aquí están algunos geométricas pensamientos (organizado, espero, pero no se muy bien seleccionadas) que pueden ser pertinentes para el espíritu de la pregunta.
Considerar los mapas
$$
\phi(a) = \frac{1 + a}{1},\qquad
\rho(a) = \frac{1}{a},\qquad
\mu(a) = -a,
$$
en $\Reals \cup\{\infty\}$, es decir, el "círculo de Riemann". Geométricamente, $\phi$ es un cuarto de vuelta en sentido antihorario, por lo $\phi \circ \phi$ es la media vuelta de la Riemann círculo, un.k.una. el mapa de $\rho \circ \mu = \mu \circ \rho$ envío de $a$$-1/a$. Los mapas de $\phi$ $\rho$ (o $\phi$$\mu$) generar un diedro grupo de orden ocho, en el que, por ejemplo,
$$
\phi \circ \mu = \rho \circ \phi,\qquad
\phi \circ \rho = \mu \circ \phi.
$$
Vagamente, $\phi$ intercambios de reciprocidad con la negación.
Considere también los mapas de $\psi:(0, \infty) \to \Reals$ definido por $\psi(a) = \tfrac{1}{2} \log a$; y $\tanh:\Reals \to (-1, 1)$. Tenga en cuenta que $\tanh^{-1} = \psi \circ \phi$, y los mapas
$$
\bigl((0, \infty), \cdot\bigr) \stackrel{\psi}{\longrightarrow}
(\Reales, +) \stackrel{\tanh}{\longrightarrow}
\bigl((-1, 1), \Dmd\bigr)
$$
son isomorphisms de Abelian grupos.
El retroceso de la composición
$$
\phi = (\tanh \circ \psi)^{-1} = \psi^{-1} \circ \tanh^{-1}
$$
mapas de $(-1, 1)$ bijectively a $(0, \infty)$, y se extiende a $[-1, 1]$ por continuidad (en el círculo de Riemann). De hecho, $\phi$ es un isomorfismo (como una composición de isomorphisms), pero el "morfismos condición" puede ser agradablemente verificar directamente:
\begin{align*}
\phi(a \Dmd b)
&= \frac{1 + \dfrac{a + b}{1 + ab}}{1 - \dfrac{a + b}{1 + ab}} \\
&= \frac{1 + ab + a + b}{1 + ab - a - b} \\
&= \frac{(1 + a)(1 + b)}{(1 - a)(1 - b)} \\
&= \phi(a) \cdot \phi(b).
\end{align*}
Desde $\phi(1/a) = -\phi(a)$, " $R \Dmd a = 1/a$ para todos (finito) $a$" mapas en $\phi$ a
$$
\phi(R) \cdot \phi(a) = -\phi(a)\quad\text{para todos (finito) $a$,}
\quad\text{o}\quad
\phi(R) = -1,
$$
la recuperación de $R = \phi^{-1}(-1) = \infty$.
De nuevo, el hecho clave al acecho detrás de estas observaciones parece ser la existencia de tres mutuamente isomorfo grupos incrustados en el círculo de Riemann, y el hecho de que $\Dmd$ es "además, en el disfraz".
