Función de Green de un operador

Question

Dado un operador diferencial $L$ ¿cómo se define su función de Green?

Sé que para un problema de condición inicial es la función para que la solución esté definida por $u = G*f$ pero no he podido encontrar una definición clara para un operario.

Gracias.

Answer 1

Las funciones de Green se utilizan a menudo en el contexto de los problemas de valores límite, en cuyo caso su definición es específica para los valores límite: se tiene la función de Green de Dirichlet y la función de Green de Neumann, por ejemplo.

La única situación en la que no tienen valores límite es cuando el dominio de consideración es todo el $\mathbb R^n$ . Wikipedia señala correctamente que

Si el núcleo de $L$ no es trivial, entonces la función de Green no es única. Sin embargo, en la práctica, alguna combinación de simetría, condiciones de contorno y/u otros criterios impuestos externamente dará una función de Green única.

(Además, en este caso la función de Green se conoce como la solución fundamental).

Por ejemplo, consideremos el operador $Lf=f''$ en $\mathbb R$ . Por definición La función de Green con polo en $s$ es una función tal que $LG =\delta(x-s)$ . Esto significa que $f'$ debe saltar por $1$ en $s$ y ser constante en caso contrario. Una de estas funciones es $G(x,s)=\max(0,x-s)$ que prefiero utilizar como función de Green. Pero algunos prefieren la función simétrica $G(x,s)=\frac12|x-s|$ .

En dimensiones superiores, la simetría radial simplifica mucho los cálculos, y nadie consideraría otra cosa que $|x|^{2-n}$ (por alguna constante) como función de Green para el laplaciano en $\mathbb R^n$ , $n>2$ .

Pero en una variedad no compacta que no es tan simétrica como el espacio euclidiano puede no haber ninguna elección canónica para la función de Green: no hay razón para preferir una sobre otra.