Encuentre $h$ tal que $h(x^{-1} - x ) = f(x)$

Question

Se me da que $f(-x) = f(x^{-1})$ para algunos $f \in \mathbb{Z}[x, x^{-1}]$ .

Me han dicho que es posible encontrar $h \in \mathbb{Z}[z]$ tal que $h(x^{-1} - x) = f(x)$ .

Cualquier indicación sería muy apreciada, gracias

Answer 1

$$f(x)=f(-x^{-1})$$ es más fácil de trabajar. Esto significa que $$f(x)=a_0+\sum_{k=1}^\infty{a_kx^k}+\sum_{k=1}^\infty{a_k(-x)^{-k}}=a_0+\sum_{k=1}^\infty{a_k(x^k+(-1)^kx^{-k})}$$ Dejemos que $n$ sea el máximo exponente positivo de esta suma. Es evidente que $f(x)-a_n(x^n+(-1)^nx^{-n})$ satisface la misma identidad, por lo que basta con demostrar por inducción que $$x^n+(-1)^nx^{-n}=h(x^{-1}-x)$$ para algunos $h$ . Esto está claro si $0\le n\le 1$ . Por lo demás, tenga en cuenta que $$(x^{n-1}+(-1)^{n-1}x^{-n+1})(x^{-1}-x)=(x^{n-2}+(-1)^{n-2}x^{-n+2})-(x^n+(-1)^nx^{-n})$$ Así, $$x^n+(-1)^nx^{-n}=(x^{n-2}+(-1)^{n-2}x^{-n+2})-(x^{n-1}+(-1)^{n-1}x^{-n+1})(x^{-1}-x)$$ Por la hipótesis de inducción el lado derecho es un polinomio en $x^{-1}-x$ por lo que el resultado se obtiene por inducción.