Entender lo que representa esta probabilidad

Question

Digamos que quiero la probabilidad de que una mano de póquer de cinco cartas contenga exactamente dos reyes. Esta sería

$$\frac{{4\choose 2}{48 \choose 3}}{52\choose 5}$$

Ahora bien, si dejo caer el $48 \choose 3$ que representa las 3 cartas que no son reyes, ¿qué puede la probabilidad $\frac{4\choose 2}{52\choose 5}$ ¿se tomará para representar?

¿Es el número de manos que contienen al menos 2 reyes?

Answer 1

No, no es cierto.

Puede representar la probabilidad de que su mano contenga 2 reyes y 3 cartas prefijadas (no reyes). Por ejemplo, la probabilidad de que su mano contenga 2 reyes cualesquiera y el as de oros, el as de diamantes y el as de bastos: esta probabilidad es igual a

$$\frac{\binom{4}{2}\binom{1}{1}\binom{1}{1}\binom{1}{1}}{\binom{52}{5}}=\frac{\binom{4}{2}}{\binom{52}{5}}.$$

Answer 2

Sería la probabilidad de una mano que contenga exactamente dos reyes y tres no reyes especificados, por ejemplo, el as, el 2 y el 3 de picas.

Answer 3

En este contexto, la fracción $$\frac{\binom42}{\binom{52}5}$$ no tiene una interpretación muy natural. La fracción original $$\frac{\binom42\binom{48}3}{\binom{52}5}$$ es otra historia: el numerador es el número de $5$ -manos de cartas que contienen exactamente dos reyes, y el denominador es el número de $5$ -manos de cartas, por lo que la fracción es la probabilidad de recibir una mano que contenga exactamente dos reyes.

Así como hay $\binom42\binom{48}3$ manos con exactamente dos reyes, hay $\binom43\binom{48}2$ manos con exactamente tres reyes y $\binom44\binom{48}1$ manos con exactamente cuatro reyes. Por lo tanto, el número de manos con al menos dos reyes es $$\binom42\binom{48}3+\binom43\binom{48}2+\binom44\binom{48}1\;,$$ y la probabilidad de que te toque una mano así es $$\frac{\binom42\binom{48}3+\binom43\binom{48}2+\binom44\binom{48}1}{\binom{52}5}\;.\tag{1}$$

Nota: El número de manos sin reyes es $\binom40\binom{48}5$ y el número con exactamente un rey es $\binom41\binom{48}4$ por lo que el número que tiene como máximo un rey es $$\binom40\binom{48}5+\binom41\binom{48}4\;.$$ Así, el número de manos con al menos dos reyes es $$\binom{52}5-\left(\binom40\binom{48}5+\binom41\binom{48}4\right)\;,$$ el número total de manos posibles menos el número que tiene menos de dos reyes. Así, también podríamos haber calculado la probabilidad en $(1)$ como

$$\frac{\binom{52}5-\left(\binom40\binom{48}5+\binom41\binom{48}4\right)}{\binom{52}5}=1-\frac{\binom40\binom{48}5+\binom41\binom{48}4}{\binom{52}5}\;.$$ Esto tiene un significado perfectamente intuitivo: es $1$ menos la probabilidad de obtener una mano con menos de dos reyes.