Dejemos que $f$ sea continua y diferenciable para $x$ en $[a,b]$

Question

Dejemos que $f(x)$ sea continua y diferenciable en $[a,b]$ . Demuestre que si $f'(x)\leq 0$ para $x\in [a,\eta)$ y $f'(x)\geq 0$ para $x\in (\eta,b]$ entonces $f$ nunca toma un valor menor que $f(\eta)$ .

$\textbf{First approach:}$ Desde $f'(x)\leq 0$ para $x\in [a,\eta)$ entonces $f$ es decreciente en este intervalo. Por otro lado, $f'(x)\geq 0$ para $x\in (\eta,b]$ entonces $f$ es creciente en este intervalo. De acuerdo con esto, $f(\eta)$ alcanza un mínimo en $\eta$ y sólo necesito verificar que $f'(\eta)=0$ .\

$\textbf{Second approach:}$ Supongamos que existe $\eta_{0}$ tal que $f(\eta_{0})< f(\eta)$ y seguir obteniendo una contradicción.

¿Qué enfoque debo seguir?

Answer 1

Desde $f$ está disminuyendo en $[a,\eta)$ y continua se deduce que $f(x) \geq f(\eta)$ en este intervalo. De la misma manera, $f(x) \geq f(\eta)$ en $[\eta,b]$ también. Por lo tanto, $f(x) \geq f(\eta)$ para todos $x$ lo que demuestra que no podemos tener $f(x) <f(\eta)$ en cualquier punto.

[Para ver que $f(x) \geq f(\eta)$ para $x$ en $[a, \eta]$ nota que $f(x) \geq f(\eta -\frac 1 n)$ (para $n$ tan grande que $\eta -\frac 1 n \in [a,\eta)$ ). Entonces dejemos que $n \to \infty$ ].

Answer 2

Si $x\in[a,b]-\{\eta\}$ entonces el teorema del valor medio nos dice que: $$f(x)=f(\eta)+f'(\xi)(x-\eta)\tag1$$ para algunos $\xi$ en el intervalo que tiene $x$ y $\eta$ como puntos finales.

Ahora comprueba eso:

• $f'(\xi)(x-\eta)\geq0$ si $x>\eta$ y en consecuencia $f'(\xi)\geq0$ .
• $f'(\xi)(x-\eta)\geq0$ si $x<\eta$ y en consecuencia $f'(\xi)\leq0$ .

Así que según $(1)$ tenemos $f(x)\geq f(\eta)$ por cada $x\in[a,b]-\{\eta\}$ .