Se me ocurrió la siguiente demostración del teorema anterior, que es la clave de la teoría de Galois de las ecuaciones algebraicas. La prueba habitual utiliza el resolvente de Lagrange o el 90 de Hilbert, que utiliza un truco similar. Esta prueba es conceptual. ¿Es una prueba conocida?
Propuesta
Dejemos que $K$ sea un campo. Sea $n$ sea un número entero positivo no divisible por la característica de $K$ . Supongamos que $K$ contiene un $n$ -enésima raíz primitiva de la unidad. Sea $L$ sea una extensión cíclica de grado n sobre un campo $K$ . Entonces hay un elemento $y$ de $L$ tal que $L = K(y)$ y $y^n$ es un elemento de $K$ .
Prueba : Dejemos que $\sigma$ sea un generador del grupo de Galois de $L/K$ . Es bien sabido que $1,\sigma,\dotsc,\sigma^{n-1}$ son linealmente independientes sobre $K$ . Por lo tanto, ya que $\sigma^n = 1$ , $X^n - 1$ es el polinomio mínimo de $\sigma$ en $K$ . Dejemos que $f(x)$ sea el polinomio característico de $\sigma$ . Por el teorema de Cayley-Hamilton, $f(\sigma) = 0$ . Por lo tanto, $f(X)$ es divisible por $X^n - 1$ . Desde $f(X)$ es mónico y el grado de $f(X)$ es $n$ , $f(X) = X^n - 1$ . Dejemos que $\zeta$ ser un $n$ -raíz primitiva de la unidad. Como $f(\zeta) = 0$ , $\zeta$ es un valor propio de $\sigma$ . Por lo tanto, hay un elemento $y \neq 0$ de $L$ tal que $\sigma(y) = \zeta y$ . Desde $\sigma(y^n) = (\zeta y)^n = y^n$ , $y^n$ es un elemento de $K$ por el teorema fundamental de la teoría de Galois. $\sigma(y^i) = (\zeta y)^i = (\zeta^i)y^i,i = 0,1,\dotsc,n - 1$ . Por lo tanto, $1,y,\dotsc,y^{n-1}$ son vectores propios de $1,\zeta,\dotsc,\zeta^{n-1}$ respectivamente. Por lo tanto, $1,y,\dotsc,y^{n-1}$ son linealmente independientes sobre K. Por lo tanto $L = K(y)$ .
