Supongamos que tengo un módulo R M sobre un anillo $R$ con la unidad y quiero considerar el producto directo (o suma directa, ya que entiendo que ambos son lo mismo cuando el producto tiene finitamente muchos factores) $M \oplus M$ . Además, dejemos que $N_1 \oplus N_2 \subseteq M \oplus M$ sea un submódulo en $M \oplus M$ que es generado por \begin {align*} \left\langle \begin {pmatrix} a_1 \\ b_1 \end {pmatrix}, \begin {pmatrix} a_2 \\ b_2 \end {pmatrix} \right\rangle , a_i, b_i \in M \end {align*} y supongamos que quiero entender la estructura de este submódulo. Mi pregunta es: ¿Puedo estudiar el generador \begin {align*} \left\langle a_1 , a_2 \right\rangle\oplus \left\langle b_1 , b_2 \right\rangle , \end {align*} y es cierto que \begin N_1 \oplus N_2 = \left\langle a_1 , a_2 \right\rangle\oplus \left\langle b_1 , b_2 \right\rangle. \end {align*}
Perdón si es una pregunta estúpida pero no estoy muy familiarizado con estos conceptos. Gracias de antemano.
EDIT: Mi intuición me dice que esto no es posible. Y si conocéis bibliografía útil respecto a este tema y me decís alguna de ellas, os lo agradeceré.
