Proporción del dominio en el que la función convexa es pequeña

Question

Dejemos que $K \subseteq \mathbb R^n$ sea un conjunto convexo compacto con volumen $V$ y que $f: K \to [0,1]$ sea una función convexa con dominio $K$ . Supongamos que $\min_{x \in K} f(x) = 0$ . Afirmo que, por cada $\epsilon \in [0,1]$ El volumen de $\{x \in K : f(x) \leq \epsilon\}$ es al menos $\epsilon V$ . En otras palabras, la función $f$ es pequeño en una gran proporción de su dominio.

¿Es cierto lo anterior? Creo que tengo una prueba muy sencilla, pero soy escéptico conmigo mismo porque no encuentro una referencia, y simplificaría alguna prueba de un hecho conocido. Si es cierto, ¿podría alguien proporcionar una referencia?

ACTUALIZACIÓN: HTFB expuso un bonito contraejemplo, con $K$ la bola de la unidad y $f$ la distancia al origen. Allí, el volumen de $\{x \in K : f(x) \leq \epsilon\}$ es $\epsilon^n V$ . Me pregunto si ese es el peor de los casos. Es decir, si podemos garantizar que el volumen de la región en cuestión es al menos $\epsilon^n V$ .

Answer 1

Como señala HTFB, la conjetura original es falsa. Mi conjetura revisada es que el volumen de $\{ x \in K : f(x) \leq \epsilon\}$ es al menos $\epsilon^n V$ , coincidiendo con el ejemplo de HTFB. Aquí hay un boceto de prueba propuesto, en el que sólo tengo una ligera confianza.

Supongamos sin pérdida de generalidad que $K$ incluye el origen, y además que el mínimo de $f$ se alcanza allí --- es decir. $f(0) = 0$ . Dejemos que $\epsilon K$ ser el resultado de la reducción de la escala $K$ por un factor de $\epsilon$ (es decir, aplicar la tranformación lineal $\epsilon I$ a $K$ ). El volumen de $\epsilon K$ es $\epsilon^n V$ . Afirmo que $f(x) \leq \epsilon$ por cada $x \in \epsilon K$ . Toma $x \in \epsilon K$ y $y \in K$ tal que $x = \epsilon y$ . Claramente, $x= \epsilon y + (1-\epsilon) 0$ . Por la desigualdad de Jensen:

$f(x) \leq \epsilon f(y) + (1-\epsilon) f(0) = \epsilon f(y) \leq \epsilon$ .

Suponiendo que no me falte nada, esto debería completar la prueba.